44 FREDHOLM, LA RESOLUTION DU PROBLEME DE DIRICHLET. 



(4) 0{a:) + Ijyi^- , s)0(s)ds = 



adniet toujours une Solution qui n'est pas identiqueinent nulle. 

 Par conséqueut, si on connait que i'equation fonctionnelle 



(4) n'admet pas de Solution différente de zéro, on peut afnrraer 

 que Iq n'est pas une racine de D = 0. 



Alors on peut diviser les deux inembres de Téquation (3) 

 par D et 



est la Solution cherchée. 



Alors on peut résumer les resultats obtenus en disant qu'il 

 existe en general une fonction q)(.v) satisfaisant a I'equation 

 fonctionnelle 



q){a;) + 11 f{x , s)(f(s)ds = ip{a;) . 



II n'y a d'exception que pour les valeurs de /, qui annulent 

 une certaine fonction entiére D. 



Mais pour ces valeurs de X il existe des fonctions 0{x) 

 satisfaisant a I'equation 



(5) (t){x) + l ff(x , s)0(s)ds = . 



S'il n'existe pas de Solution diiférente de zéro de cette équa- 

 tion, on en peut conclure que A n'est pas une racine de I'equa- 

 tion 



B = 0. 



Remarque. Si nous faisons l'hypothese que f(x, s) adraette 

 des dérivées par rapport a a; tinies et uniformément continues 

 jusqu'ä l'ordre n, la formule (5) nous inontre que CP(^) a des 

 dérivées des mémes ordres. 



§ 2. Application au probléme de Dirichlet. 



Soit C une courbe fermée dont les coordonnées rectangu- 

 laires ^, t], considérées coninie fonctions de la longueur de l'arc s 

 admettent des dérivées des trois premiers ordres. 



