ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1900, N:0 1. 4i"> 



Soit 10 le potentiel d'une double couche portée par la courbe 



cp(s) , . , , . , , 



6 et " - sa densite, nous pourrons ecnre, en prenant la lon- 



gueur totale de C pour unité, 



1 



(6) tv{oc , ^) = — I (p{s)d arctg -^ . 



o 



Quand le point (.-c, 3/) s'approche å un point s ^ s^, en 

 étant Interieur de C, w converge vers la valeur 



1 



(7) «. = .,(.„, + i/V«) I arctg ||=|g äs . 



O 



Mais en posant 



/•/ „ ,A _ 1 i arets ^^ ~Z3k3l 



on voit que Téquation (7) a la méme forme que Téquation fonc- 

 tionnelle (1) considérée dans le paragraphe précédent. De plus 

 f{sQ,s) est une fonction finie pour toutes les valeurs des vari- 

 ables Sq et s. 



Alors nous pouvons affirmer que le probléme de Neumann 

 qui se traduit par Téquation 



o 



est en general résoluble par la méthode exposée dans le para- 

 graphe précédent. 



Pour avoir la Solution du probléme intérieur de Dirichlet 

 il faut démontrer que Téquation fonctionnelle 



1 



(8) O = <jp(.So) + Jcp(s)f{s^ , s)ds 



b 



n'admet pas de Solution autre que (p(s) — O, c'est-a-dire il faut 

 démontrer quMl n'existe pas de couche double portée par C, 

 dont le potentiel soit egal a zéro ä Tintérieur de C. 



Mais cela se déraontre facilenient. En efFet, on voit que 

 /(.s„, .s) admet une dérivée par rapport ä .s^,. Par conséquent 



