48 WIQERT, SUR LES POINTS SINGÜLIERS DES ÉQUATIONS DIFFER. 



On verra par la que la détermination corapléte des conditions 

 nécessaires et süffisantes pour que 1'origine soit un centre, pré- 

 sente des difficultés de la méme nature que le problenie corres- 

 pondant du Systeme du troisiéme degré. Cependant, grace a 

 un artifice qui n'etait pas applicable dans le dernier cas, on 

 peut ici aller un peu plus loin. Cest ce que je montrerai par 

 la suite. 



Partons du Systeme (1). On en obtiendra par la Substi- 

 tution 



a; — ^{x — iy)^ 



le nouveau systeme 



--^= iiv + Ax- + ^Bxy + Cy- 



dt 

 dy 



— iy + A'y- + 2B'yx + Cx- 



(2) 



dont les coefficients seront 



A, A' = a — c + 2b' ± (a' — c' + 2b)i 



B, B' = a + c + (a' + c)i ! (3) 



C, C = a-~c — 2h' ±{a' — c' — ih^i] 



En raisonnant sur ce systeme comme je Tai fait dans ma note 

 antérieure, je suis parvenu aux resultats suivants: 



1. Si ^ + 5' = O , A' + B ^0 \ 



I 



ce qui peut encore s écrire ( (4) 



a + b' = O , a' + b == O 



le systeme s'integre algébriquement^ et par conséquent Vorigine 

 est un centre. 



2. IjCs conditions nécessaires et süffisantes pour que le 

 systeme (1) possede un axe de symétrie, sont 



AB — A'B' == O , A^C— A'^C = (^ 4= O , j5 4= 0) | 



A^C— A'-'C' = (.4 =j= O , ^ = 0) i (5) 

 ß2C' — B'Kl = {A = 0, B=^0)] 



Quand elles sont remplies, Vorigine est encore un centre. 



