ÖFVERSIGT AF K. VETBNSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1900, N:0 2. 235 



Setzen wir 



IM = — 4:7t Q + cp 



so ist für jeden beliebigen Raum 



J (pdv = . 



Wir können also folgenden Satz aussprechen: 



Wenn q eine für die verschiedenen Raiwitheile integrirhare 



Funktion ist, so ist 



JV= — åiTZQ + q) 



wo q) eine Funktion ist, deren Integral für jedeti Raum Nml 

 ist, und zwar ist 



(p = IM + 4:7tQ . 



Bemerkung . Hier fällt die Bedingung weg, dass q in jedem 

 Punkte einen für die verschiedenen Richtungen integrirbaren Werth 

 besitze — cp kann nähmlich in einzelnen Punkten unbestimmt sein. 



§ 5. Integration der Poisson sehen Gleicliung. Umgekehrt 



kann man zu jeder integrirbaren Funktion eine Funktion cp 



hinzuziehen, welche den Integralwerth Null hat, derart dass die 



Summe 



— 4z7tQ + q) 



als eine ^/-Funktion, JV, dargestellt werden kann, d. i. dass die 

 Gleichung 



JV ^= é:7CQ + q) 



eine Lösung besitzt. Und zwar sind die Werthe von q und V 

 q) = IM + 4c7iQ 



V= f^+ Q 



wo Q eine harmonische Funktion ist. Denn es ist 



fq)dT =J{IM + 4:7t Q)dT = und 

 JV= IM = — 4:7tQ + q) . 



Man kann sich jetzt fragen, ob es mehrere Funktionen q) 

 giebt, welche komplementär zu q auftreten können. Wir wollen 

 jetzt beweisen, dass für eine gegebene ^-Funktion es nur eine 

 ^-Funktion giebt. Es sei 



