240 BRODÉN, WAHRSCHEINLICHKEITEN BEI KETTENBRÜCHEN. 



bleibt (und namentlich dass die angedeuteten Fehler in dieser 

 Richtuiio; keine Bedeutung haben). Drittens werden an das von 

 Gyldén angegebene Hauptresultat der reihentheoretischen Unter- 

 suchung gewisse Anmerkungen geknüpft. 



2. Zunächst müssen einige wahrscheinlichkeitstheoretische 

 Bemerkungen principieller Natur vorausgeschickt werden. Wenn 

 man eine im Sinne der modernen Mengenlehre allgemeine Theorie 

 für Wahrscheinlichkeiten bei unendlich vielen Möglichkeiten schrei- 

 ben wollte, 1) so raüsste man, so viel ich finden kann, von dem 

 Begriffe eines Grenzüberganges ausgehen (wenigstens insofern es 

 möglich sein sollte, die Theorie in Verbindung mit Versuchen 

 und Beobachtungen zu setzen). Eine Haupt-Definition würde 

 etwa folgendermassen lauten: Es sei q){n) eine ganzzahlige, un- 

 aufhörlich und unbegrenzt mit n wachsende Function; es bedeute 

 ferner für alle (ganze, positive) ?2-Werthe, P„ eine bestimmte 

 Menge von cp(n) Möglichkeiten, und P„ sei immer in Pn+i ent- 

 halten; die abzählbar unendliche Grenzmenge lim P„ [d. h, die 



Gesammtheit aller Elemente, welche für hinreichend grosse n in 

 P,i eingehen] sei mit P bezeichnet; zu jeder Menge P„ gehöre 

 eine gewisse Wahrscheinlichkeitszahl Sn (Anzahl von günstigen 

 Möglichkeiten durch cp{n) dividirt); dann heisse lim S„ die bei 



n = x> 



diesem Grenzübergange zur Menge P gehörende Wahrscheinlich- 

 keit. (Die Möglichkeit eines unbestimmten Werthes von lim Sn 

 könnte gewisse Bemerkungen veranlassen, welche wir doch hier 

 übergehen). — Eine andere denkbare Weise, den Grenzübergang 

 einzurichten, ist die folgende: Man theile eine gegebene, abzähl- 

 bare oder nicht-abzählbare unendliche Menge von Möglichkeiten 

 in (p{n) Gruppen von je unendlich vielen Elementen; eine Gruppe 

 werde als günstig betrachtet, wenn sie wenigstens ein günstiges 



') So viel ich weiss, enthält die Literatur in dieser Richtung höchstens zer- 

 streute Bemerkungen. Namentlich scheinen (nach Angabe von E. Czuber, 

 Die Entwickelung der Wahrscheinlichkeitstheorie, Jahresbericht d. deutschen 

 Mathematiker-Vereinigung, Bd. 7, Heft. 2 (1899), p. 50) einige derartige Aus- 

 sprüche von CesÄro und VivanTi in den Zeitschriften Periodico di Mate- 

 maticii VI und Rivista di Mat. I vorkommen, welche ich nicht Gelegenheit 

 gehabt habe zu sehen. 



