242 BRODÉN, WAHRSCHEINLICHKEITEN BEI KETTENBRÜCHEN. 



Die meisten der im Folgenden behandelten Fragen führen 

 im Wesentlichen nicht über das Gebiet der »geometrischen Wahr- 

 scheinlichkeit» hinaus. Aber es ist mit Rücksicht auf einige 

 Fragen nothwendig, eine gewisse Abtheilung jener allgemeineren 

 Theorie hier kurz zu skizziren. Man betrachte eine stetige Folge 

 reeller Zahlen x, etwa diejenigen zwischen und 1. Und es sei 

 eine bestimmte arithmetische Eigenschaft vorgelegt, welche ge- 

 wissen Zahlen x zukommt, anderen aber nicht; die Menge der 

 ersteren heisse Q. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass 

 eine willkührliche Zahl x zur Menge Q gehört? Diese Frage ist 

 sinnlos, wenn sie ohne weitere Voraussetzungen dargestellt wird 

 (Beispiel: wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine will- 

 kührlich gewählte Zahl x rational ist?). 



Um nöthige Bestinmitheit zu gewinnen, denken wir uns zu- 

 nächst, dass man eine bestimmte abzählbare Theilmenge P her- 

 ausnimmt und dieselbe in bestimmter Weise als Grenzfall für 

 endliche Mengen P„ auffasst. Ein specieller, aber wichtiger 

 Grenzübergang dieser Art ist der folgende. Es sei o eine be- 

 liebige pos. Grösse < 1, und a■^, a^ zwei Theilstrecken im Inter- 

 valle ... 1, welche beide die Länge ö haben; die Anzahl der 

 in «j bez. a^ fallenden Stellen x, welche zu P,, gehören, sei 

 ^, bez. Q^] die angedeutete Specializirung besteht darin, dass 

 lim (^j : ^2) gleich Eins sein soll. Dies lässt sich kurz auch so 

 ausdrücken, dass die Grenzmenge F überall dieselbe »Dichtig- 

 keit» hat — welche Eigenschaft also nicht der Menge P als 

 solchen zukommt, sondern an bestimmte Zerlegungen in endliche 

 Mengen geknüpft ist. Ein anderer Ausdruck für dieselbe Sache: 

 alle Strecken von derselben Länge sind gleichberechtigt. Eine 

 gegebene überalldichte (und abzählb.) Menge P lässt sich in der 

 That immer, und zwar auf unendlich viele Weisen, in der ge- 

 nannten Art als Grenzfall darstellen; der ziemlich einfache Be- 

 weis hierfür wird hier ausgelassen. Jetzt sind verschiedene Fälle 

 hinsichtlich der Menge Q zu unterscheiden. 



1) Q ist in keinem Theilintervalle condensirt. Dann dürfte 

 es immer gelten, dass die Wahrscheinlichkeit gleich Null ist, 



