244 BRODÉN, WAHRSCHEINLICHKEITEN BEI KETTENBRÜCHEN. 



heisse es auch jetzt, dass alle Strecken von derselben Länge 

 gleichberechtigt sind. Wenn man dies voraussetzt, modificiren 

 sich die 3 obigen Fälle auf folgende Weise: 



1 a) Die Wahrscheinlichkeit ist = / oder = 0, jenachdem 

 man voraussetzt, dass eine günstige Strecke überhaupt günstige 

 Stellen oder lauter günstige Stellen enthalten soll. Analog wenn 

 die ungünstigen Stellen in keiner Theiistrecke condensirt sind. 



2 a) Ganz wie 2). 



3 a) Die Wahrscheinlichkeit ist = 1 oder = 0, jenachdem 

 die eine oder die andere der unter 1 a) genannten Voraussetzungen 

 gelten soll. 



Die Sache lässt sich ferner immer so verallgemeinern, dass 

 man anstatt der Gesaramtheit aller Zahlen im fraglichen Inter- 

 valle, eine Menge M zum Grunde legt, welche (wie z. B. die 

 Gesammtheit der irrationalen Zahlen) überall condensirt ist und 

 in jedem Theilintervalle eine nicht-abzählbare Theilmenge hat, 

 aber keine Strecke stetig ausfüllt (und man kann hierzu dadurch 

 veranlasst werden, dass etwa bei den Irrationalzahlen arithra. 

 Distinctionen möglich sind, von denen es bei rationalen Zahlen 

 keine Rede sein kann). Alles gestaltet sich dann völlig analog. 

 Aber die Fälle 2 und 2 d) sind in folgender modificirter Form 

 zu charakterisiren: die Stellen Q sind so vertheilt, dass sie ge- 

 wisse Theilstrecken beherrschen, in dem Sinne dass diese Strecken 

 keine ungünstigen Stellen enthalten, und ähnlich für die un- 

 günstigen Stellen. 



Bei dem in dieser Weise modificirten Falle 2 [oder 2 «] ist 

 ja die Abweichung von den Verhältnissen bei der »geometrischen 

 Wahrscheinlichkeit» ziemlich unwesentlich. Bei der folgenden 

 Untersuchung werden wir grösstentheils eben mit diesem Falle 

 zu thun haben; aber auch mit den übrigen Fällen werden wir 

 in Berührung kommen. 



3. Wir gehen jetzt zu der angedeuteten Untersuchung 

 hinsichtlich Kettenbruchentwickelungen über. Die gewöhnliche 

 Kettenbruchentwickelung einer irrationalen Zahl ^.i zwischen 

 und 1 sei 



