ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1900, N:0 2. 245 



a^+ ... 



Die ganzen positiven Zahlen «j , a^. . . ein . . . bilden eine unend- 

 liche Reihe und sind mit ^tt eindeutig bestimmt. Man betrachte 

 ferner die Gesammtheit a//er irrationalen Zahlen im genannten 

 Intervalle ... 1. Und es sei festgestellt, dass alle Theilstrecken 

 von derselben Länge gleichberechtigt sein sollen. Dann haben 

 folgende Wahrscheinlichkeiten eine bestimmte Bedeutung, indem 

 die günstigen Fällen (sehe unten) eine Anzahl von Theilstrecken 

 im oben angegebenem Sinne »beherrschen»: 



Dn, k bez. Sn, k'- die Wahrscheinlichkeit, dass a„+i = ^ bez. a,;+i>A; 

 ist; 



dn, k bez. Gn, k' die Wahrscheinlichkeit, dass eine in der ??-glied- 

 rigen Menge a^ . . . a„ willkührlich gewählte Zahl 

 üi = k bez. ^ Ä; ist; 



Sn, k bez: Qn^ i-'. die Wahrscheinlichkeit, dass k bez. k oder eine 

 grössere Zahl unter den n Zahlen a^ . . . an vor- 

 kommt. 



Wir werden uns zunächst mit der Bestimmung von Dn, k 

 und Sn,k beschäftigen. Die successiven »Convergenten» des Ketten- 

 bruches (1) bezeichne man 



(tt-. , a^ , . . . a,i) ^= = i^n 

 {r„ und s„ relativ prim). Bekanntlich gelten dann die Relationen 



rn+i rn (— 1)" 



(3) 



^n + 1 ^n ^n^n+l 



Es sei jetzt n eine bestimmte Zahl, und man setze auch 



für a^ . . . a„ bestimmte Werthe voraus, nicht aber für a^+i etc. 



Dann muss -t<, wie unmittelbar ersichtlich ist, zwischen den 



Werthen 



(«i . . . ün) und (a, . . . a„ , 1) 



