246 BRODÉN, WAHRSCHEINLICHKEITEN BEI KETTENBRÜCHEN, 



liegen; und die erste oder zweite dieser Grenzzahien ist die 

 kleinere, je nachdem n gerade oder ungerade. Es ist somit ^ auf 

 eine Strecke von der Länge 



l,a = (— 1)" {(«1 . . . a„ , 1) — (aj . . . a„)} 



hingewiesen. Für diese Länge gilt aber auch der Ausdruck 



1 



'nl — 



<i\pn — 1 "t" Sn) 



wie aus (2) und (3) unmittelbar hervorgeht, wenn man a„+i = l 



setzt. Es sei ferner k eine ganze Zahl > 1. Für Werthe von 



a,i+i, welche '>k sind, gilt es, ganz wie für k = 1, dass u in 



die Strecke 



(«]... a„) .. . (aj . . . a„ , k) 



fällt; und die Länge dieser Strecke ist 



1 



In 



^ sJkSj, + Sn - i) 



Die Wahrscheinlichkeit (immer bei gegebenen «j . . . a,i)., dass u 

 zu dieser Strecke gehört, ist aber gleich Ink : ln\- Also folgt, 

 wenn man 



Sji — 1 



= qn 



setzt: Wenn der Quotient qn bekannt ist, so gilt für die Wahr- 

 scheinlichkeit W{qn, k), dass a,j+i den Werth k erreicht oder 

 übersteigt, der Ausdruck 



(4) W(q„,k) = ]-±^.^) 



•^ + qn 



') Dieser Ausdruck stimmt nicht mit demjenigen überein, den Gyldén 1. c. p. 

 81 für dieselbe Grösse herleitet. G. erhält nämlich (mit m statt n) 



(l + ?^-l)^„ 

 \ Sm I 



Sm- 

 ttm + l H 



wo rtm + 1 dieselbe Bedeutung hat, wie oben k, und d'm als eine gewisser- 

 massen unbestimmte Grösse betrachtet wird, für welche nachher der Mittel- 

 werth 0,85380 eingeführt wird. G. hat in der That übersehen, dass seine 

 Gleichung (p. 81) 



Smam + l + Sm — 1 = v{Sm + Sm — l)d'm 



