256 BRÖDEN, ^WAHRSCHEINLICHKEITEN BEI KETTENBRÜCHEN. 



{E) 



k = 



1 



2 



5 



20 



50 



100 



1 



0,50 



0,20 



0,05 



0,02 



0,01 



2 



1 



0,81 



0,43 



0,13 



0,05 



0,03 



5 



1 



0,99 



0,77 



0,29 



0,13 



0,07 



10 



1 



— 



0,94 



0,51 



0,25 



0,13 



50 



1 



— 



— 



0,97 



0,76 



0,51 



100 



1 



— 



— 



— 



0,94 



0,76 



200 



1 



— 



— 



— 



' — 



0,94 



Unabhängig von k sind die Grenzvverthe, für w = oo, von 

 Dn,k und »S„, i von Null verschieden. Nach (13) und (14) Avird 

 also, unabhängig von k, 



lim 8n, i — 1 ; lim q,,, i = 1 . 



)i = 00 W = 00 



Dies bedeutet: die Wahrscheinlichkeit, dass es in der unendliclien 

 Reihe a^ ...«,;.. . überhaupt ein a,j giebt, welches = k bez. ^ /c, 

 ist gleich 1. Dass hierbei die günstigen Stellen iiberalldichte 

 Mengen bilden, ist unmittelbar ersichtlich. Das soeben erhaltene 

 Resultat bedeutet aber, dass die ungünstigen Stellen eine Menge 

 vom Inhalt Null bilden. Die Wahrscheinlichkeit ist dann gleich 

 1, unabhängig davon, ob man die eine oder die andere der in 

 Art. 2 angegebenen Grundvoraussetzungen benutzt (sehe Art. 2, 

 die Fälle 1 und 1 dj). 



Ganz anders gestaltet sich die Sache, wenn man nach der 

 Wahrscheinlichkeit fragt, dass «„ überhaupt unterhalb einer end- 

 lichen Grenze bleibt. Dann sind nicht nur die günstigen, sondern 

 auch die ungünstigen Stellen überall condensirt, und man ha.t 

 also mit dem Falle 3) oder 3 d) in Art. 2 zu thun. Eine über- 

 all condensirte, abzählbare Theilmenge mit der genannten Eigen- 

 schaft ist z. B. die Gesaramtheit aller zwischen und 1 fallenden 

 irrationalen Quadratwurzeln aus rationalen Zahlen, wie unmittel- 

 bar daraus folgt, dass die Kettenbruchentwickelung einer solchen 

 Zahl immer periodisch ist. 



7. Die oben gegebenen Formeln bez. numerische Werthe 

 für q, Dn,ic, &n,k, Dk, &k, ()n.k, Gn,k, ^n, k , Qn. k sind, wlc oben 



