ÖFVERSIGT AP K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1900, N:0 2. 259 



kannt ist) gilt es aber, dass die Reihe convergirt, sobald die 

 obere Unbestimnitheitsgrenze G von 



,. .7—2— 

 lim \ s a ,. 



1 n n + \ 



kleiner als 1 : e ist; für G > 1 : e findet dagegen immer Diver- 

 genz statt; nur der Fall (r = 1 : £ lässt die Sache unentschieden. 



\^ 

 Da lim (sJJ^" = 1 ist, wird einfach 



2^ 



G = obere Unbest -Grenze für lim {ai^+iY" ■ 



Man ersieht sofort, dass in jeder Theilstrecke des Intervalles 

 . . . 1 Stellen u liegen, bei denen die Kettenbruchentwickelung 

 so beschaffen ist, dass für alle n oberhalb einer gewissen Grenze 



' 1 



£ 



{an + lYn < d 



(d < 1 : £, sonst beliebig) ist, und ebenso in jeder Theilstrecke 

 solche /,<, dass es oberhalb jeder Grenze n-Werthe giebt, für 

 welche 



^ 1 



£ 



{ö beliebig, > 0). Sowohl die günstigen als auch die ungünstigen 

 Stellen sind also überall condensirt, und folglich die genannte 

 Wahrscheinlichkeitsfrage völlig sinnlos (sehe oben), wenigstens 

 solange man nicht die Variation von ^u auf eine bestimmte 

 Theilmenge von Irrationalzahlen beschränkt hat. — Als Func- 

 tion von i.i hat die Reihe (15), nach dem Gesagten, eine überall 

 dichte Menge von co-Stellen. Es liegt eine Art von »Singulari- 

 täten-Condensation; vor, so beschaffen, dass die entstehende Func- 

 tion »total unstetig» wird. Ähnliches ist ja bei störungstheoreti- 

 , sehen Reihen schon vorher nachgewiesen worden. ^) Es lässt 

 sich in derartigen Fällen zeigen, dass sowohl die co-Stellen, als 

 auch die Stellen mit endlichen Functionenwerthen nicht nur 

 überall dichte sondern auch »nicht-abzählbare» Mengen bilden; 



^) Man sehe Dfimentlich H. Bruns, Bemerkungen zur Theorie der allgemeinen 

 Störungen. Astron. Nachrichten Bd. 109 (1884) No. 2G06, p. 215 ff. 



