260 BROD:^]sr, Wahrscheinlichkeiten bei kettenbrüchen. 



vergl. einen vom Verf. dargestellten Beweis für dasselbe Ver- 

 hältniss bei gewissen durch ein anderes Condensationsverfahren 

 erhaltenen Reihen, welche die Derivirte von einer eigenthümlichen 

 Art stetiger Functionen darstellen. ^) 



In ganz anderer Weise kann sich die Sache gestalten, wenn 

 man nach der Wahrscheinlichkeit fragt, dass die Reihe nicht 

 nur convergirt, sondern auch von einem gewissen Gliede an sich 

 in irgend einer vorgeschriebenen Weise verhält (z. B. vom An- 

 fang an stärker als eine gegebene geometrische Reihe convergirt). 



Derartige Fragen stehen in nahem Zusammenhange mit der- 

 jenigen, wie die Wahrscheinlichkeitsverhältnisse sich gestalten, 

 wenn es nur erwünscht Avird, dass die Reihe yJialbconvergenU -) 

 oder »practisch convergenh sein soll. Um einen Ausgangspunkt 

 für die Beurtheilung dieser Frage zu gewinnen, setzen wir zu- 

 nächst nur voraus, dass die (Tlieder vom ersten bis zum n-ten 

 unaufhörlich abnehmen. Es soll also erstens u^ <C u^ sein (wenn 

 die Glieder mit •«,; bezeichnet werden). Dies giebt, wenn man 

 die Relationen s, = a^, So ^ 1 + ci^a.^ benutzt und 



1 



- = p 

 e 



setzt, die Ungleichheit 



(16) a« < , '^'^- • p«i«2 -ai+i 



welche, da a^ ganz ist, mit dieser gleichbedeutend ist: 



«3 < h{a^ , (7o) , 



wo /((«!, «o) die ganze Zahl bedeutet, welche nächst grösser als 

 das rechte Glied ist (oder diese Grösse selbst, falls sie ganz ist). 

 Hiernach wird die Wahrscheinlichkeit w.-,, dass u.-, < it^ ist, 



^i-V 



A^ 



k=\ 1 = 1 



^) Ueber das Weierstrass-Cantor'sche Coudensationsverfahrea, Ofversigt af K. 

 Vet.-Akad. Förhandlingar, Stockholm 1896, p. 583 ff. 



^) Das Wort »halbconvergent» wird bisweilen statt »bedingt convergent» be- 

 nutzt; natürlich handelt es sich hier um die andere, schon von Legendre 

 angegebene Hedeutung. 



