346 VON KOCH, LA TRANSFORMATION DES FORMES BILINÉAIRES. 



Appliquant ceci aux groupes 



Uk.\, Mi . 2 , . . . , Mi . ,/^ (^ = 1 , 2 , . . . , r) 



trouvés plus haut on voit donc que chacun d'entre eux est cora- 

 posé de fonctions qui sont linéairement indépendantes. 

 Je dis que les r fonctions 



"^h.ii ^2.1 i • • -5 Mj'. 1 

 qui occupent la premiere place dans nos r groupes, sont linéaire- 

 ment indépendantes. 



En efFet, on a par definition 



71 I • • • , 

 "'t^ / Zj . . . ty _ 1 Zj, \ 



\K^ , . . ky — 1 A; ' 



d'oü l'on voit que le coefficient de ä;^^ dans la fonction m,/.i a 

 pour valeur 



qui n'est pas nulle d'apres ce qui précéde; le*s coefficients de 



^k\ -I X'k2 1 • • • 1 ^ky_i 



dans la fonction iiv.i sont au coutraire tous nuls puisque, 

 d'apres sa definition, la fonction Uy ne contient pas ces variables. 

 Donc le déterminant fonctionnel 



Ö{lli . 1 , ^2 . 1 , . . . , M,. . ]) T^ v- TT- 



— yr, T— = A, Är, .... Ä,. 



n'est pas nul, ce qui démontre Ténoncé précédent. 



Ce point établi, il est facile de voir qu'il ne pourra y avoir, 

 entré les ^i fonctions Ui,ki aucune relation linéaire et homogene 

 a coefficients constants. 



Posons en eflfet 



r ''t 



