348 VON KOCH, LA TRANSFORMATION DES FORMES BILINÉAIRES. 



sur l'expression primitive, on verra quelques autres des Wj.i- dis- 

 paraitre et ainsi de suite. En somme, on trouve que l'expression 

 ti ne contient aucune des fonctions Mj.a-, 



c. q. f. d. 

 Donc, å la racine Wj d'ordre ^tt correspond un groupe de ^.i 

 fonctions linéairement indépendantes Ui,j^, qui se divise en r 

 sous-groupes 



dont chacan remplit des relations de la forme (4). 



Comme le déterminant z/ a n racines (en comptant chacune 

 d'elle avec son ordre de multiplicité), on trouve ainsi n fonctions 

 u dont on démontre sans peine qu'elles sont linéairement indé- 

 pendantes et qui se partagent en sous-groupes de la maniere 

 indiquée. 



6. II est clair que le nombre total des sous-groupes ainsi 

 obtenus est egal au nombre total des diviseurs élémentaires de J. 

 Soit Q ce nombre et soit 



(6) (w — Wj)"! , {CO — cü^y^ , . . . , (w — co^Jq 



l'ensemble des diviseurs élémentaires de z/ , d'oü résulte 



Soient 



r\ + v^ + ...-{■ v^ = n 



U\.i, Ml. 2, • • . , Ui.y^ 

 ^2 . 1 ) ^2.2) • • • 1 ^2 . 7'2 



les foncticns u correspondantes, définies par les formules qui 

 précédent. 



Définissons n variables X en fonction de a-, , x^ , . • • , ^n 

 moyennant la Substitution 



(7) Xi./, ^Ui.k (k = 1 . . .Vi', i=l . . .q) 



et de méme n nouvelles variables X' en posant 



X'i . A = u'i . i {k = 1 . . .Vi] i = 1 . . .q) 



