430 BRODÉN, DERIVIRBARE FUNKTIONEN ETC. 



\f+ i^i) — l^nliXi) \^On, 



und also für w = co 



f'+{^i) ■= lim ^n2(.«i) • 



?i= OO 



In ganz analoger Weise erhält man 



/_ (^i) = lim m„i {x,) . 



K = CO 



Die Forderung 3) ist also erfüllt. 



Dass dies auch für 2) gilt, ist jetzt leicht zu finden. A.n 

 einer in L neu-eingeführten Ecke ^,?/j , welche zugleich Maximum- 

 stelle ist, hat mn<i = f einen negativen Werth, m„i =/_ einen 

 positiven Werth. Der Punkt Xii/i liegt auch auf y —. f{x)] 

 und es ist, wie für alle primären Stellen, / (.r,) = lim m„+o, 2 , 



Q= 00 



f_{x^ = \\m.mn+^,i- Diese beiden Grenzwerthe erhält man 



^=00 



aber durch Multiplikation von iiin, 2 bez. ?n„, 1 durch eine posi- 

 tive Grösse > 1 , nämlich durch ein unendliches Produkt 



Pn • Pn+i • Pn+2 Pn+Q , WO jeder Faktor P„+^ > 1 ist 



(aber ^ Qn+ft) • Es hat also f_^{xi) einen bestimmten (end- 

 lichen) Werth < , f_{x^ einen bestimmten Werth > . Die 

 fragliche Stelle ist also Maximumstelle für die Grenzfunktion 

 f{x) . In ganz ähnlicher Weise ersieht man, dass ein Minimum 

 für fn{x) auch Minimum für f{x) ist. Wir haben aber auch zu 

 zeigen, dass die successiv eingeführten Maxima und Minima 

 wirklich eine überall dichte Menge bilden. Zu diesem Zwecke 

 betrachte man wieder ein iv,j-Glied mit Endpunktskoordinaten 

 Xi , yi {Ä) und x^ , yk {B) , RichtungskoefF. m . Durch A und 

 B ziehe man die (parallelen) Linien, längs denen die Ln+i- 

 Glieder AA' und Bß' fallen, und deren Richtungskoefficienten 

 = mPn sind; durch den mittleren Punkt C von AB ziehe man 

 die zur ,2;- Achse parallele Gerade. Diese Linie schneide die 

 beiden erstgenannten in D, und X^o mit den Abscissen §, bez. §0 • 

 Eine kleine Rechnung giebt 



