ÖFVERSIGT AP K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1 900, N:0 4. 431 



-, bl — ^i ^k — ^o 1 1 



1 > 1- = -^ — = KT> T > 



^k — ^1 ^2 — ^^i 2P„ — 1 1 + d„ ' 



-WQ d„ für n = oo verschwindet. Zufolge der Art des oben be- 

 schriebenen Überganges von X„ zu L^+i liegen aber, vie man 

 sofort ersieht, die Abscissen f.i^ und f.i^ von M^ und M^ zioischen 

 ^j und ^o- Da andererseits /.i^ (wie <^,) zwischen Xi und i (^j + ■^'^) , 

 aber /.t^ (wie ^o) zwischen ^{ä^i + ^x) und a'^- fällt, so gelten die 

 Ungleichheiten 



-| ^ |f'] ^i ^k ^'2 \^ 



Xk f.1^ {.i^ — a^i 1 + ön' 



Die Abscissen von M^ und M^ zerlegen somit die ^-Strecke 



^i Xj. in Theile, deren Proportionen zwischen endlichen und 



von Null verschiedenen Grenzen bleiben. Bei unendlicher Fort- 

 setzung des Theilungsprozesses entsteht aus diesem Grunde eine 

 überall' dichte Menge von Theilungspunkten (es dürfte über- 

 flüssig sein, den Nachweis dieses einfachen Satzes hier durch- 

 zuführen). Die Maxima und Minima (und daher die primären 

 Stellen überhaupt) liegen also überall dicht. 



Unter den angegebenen Voraussetzungen sind also die obigen 

 Bedingungen 1), 2), 3), 4 a) erfüllt. Jene Voraussetzungen sind 

 z. B. bei den speciellen einfachen Interpolationsregeln realisiert, 

 welche in der mehrerwähnten Arbeit des Verf. im Journ. f. 

 Math. 118, p. 51 — 60, benutzt werden (jedoch nur wenn die 

 dort mit qn bezeichneten Grössen numerisch < ^ < 1 bleiben). 

 Diese Art der Interpolation ist insofern die einfachste denkbare, 

 als bei jeder Interpolation zwischen konsekutiven Ecken keine 

 anderen neuen Ecken eingeführt werden als M^ und M.^, weshalb 

 alle primäre Stellen Maxima-Minima werden. Wie ebenda ge- 

 zeigt wird, kann aber bei dieser Gestaltung der Interpolation die 

 obige Bedingung 4b) nicht erfüllt sein: es entstehen nothwendig 

 (sekundäre) Unbestiramtheitsstellen für /^ und /_ (1. c. p. 57, 58). 



4. Wir wenden uns jetzt zur Herleitung eines Verfahrens, 

 das auch dieser Forderung 4 b) entspricht. 



Es sei X eine beliebige sekundäre Stelle, und x -{■ d eine 

 benachbarte Stelle {d ^ 0) . Für hinreichend kleine n (und jeden- 



