432 BRODÉN, DERIVIRBARE FUNKTIONEN ETC. 



falls für n = 0) liegen x und x -\- ö zwischen zwei zu L^ ge- 

 hörenden konsekutiven Eckenabscissen, oder x-\-d fällt mit einer 

 dieser Abscissen zusammen. Man bezeichne einfach mit n — 1 

 den grössten ?i-Werth, für den dies gilt, und setze x„_i_ i = xi^ 

 Xn — \, 2 = Xh (so dass Xi <, X <C osj; , .?;; < .'C + (5 < .2:^.) . In allen 

 Ln+Q iwit ^^0 geben dann die Abscissen x und x + ö Punkte, 

 welche verschiedenen Gliedern angehören. Es sei 



mn(x) — -^^ J ■'-^^^ = A„ . 



Für hinreichend kleines "1 ö | wird n beliebig gross. Für hin- 

 reichend grosse n wird aber, zufolge der schon eingeführten 

 Voraussetzungen, w„(^) beliebig wenig von lim mn(x) = m[x) ver- 



n= 00 



schieden, sowie auch, da x und x + å verschiedenen Z>,j-Gliedern 

 angehören, 



fn(x + d)—f(x + d) f^(^^) — f(,i) 



ö d 



beliebig wenig von Null verschieden (man bemerke die obige 

 Ungleichheit (2)). Demzufolge ist für hinreichend kleines å 



beliebig wenig von A„ verschieden. Wenn also lim Z„ [oder was 

 dasselbe ist, lim Z„] verschwindet, so wird f.{^)=f_{^) = ')n(x). 



Für 7n{x) = wird bei den obigen Voraussetzungen immer 

 lim Xn = . Für hinreichend grosses n ist nämlich dann überall 

 zwischen xi und x^: f (x) beliebig wenig von Null verschieden, wor- 

 aus folgt, dass sowohl m„(.t') [=/J('t')] ^'^ ^'^*^^'' '^ i 



numerisch beliebig klein sind, also auch X„. Anders verhält es sich, 

 wenn 77i(x) nicht — • ist. Es sei etva jn[x) > . Für hin- 

 reichend grosses n ist dann mo(.r) > , sobald Q>n — 1. Es 

 sei å numerisch so klein, dass dies der Fall ist. Wenn dann x 

 in der ei'sten Hälfte der Abscissenstrecke xi x/^ Hegt, so ist 



