434 BRODÉN, DERIVIRBARE FUNKTIONEN ETC. 



Die Frage kommt wesentlich auf folgendes hinaus. Man 

 betrachte etwa die ^-Strecke von — 1 bis + 1 , und innerhalb 

 derselben die lineare Funktion y = x . Es soll eine andere 

 Funktion F{x) mit überall bestimmten Werth von F'{fc) dar- 

 gestellt werden, welche folgende Eigenschaften besitzt: 



F{— x) = — F{w), F(± 1) = ± m {771 > 0) 

 sgn F"{.x) — sgn x , F'(o) < , 



(woraus folgt, dass F{x) ein Maximum zwischen — 1 und ^ 

 ein Minimum zwischen und 1 hat), und überdies folgender 

 Bedingung genügt: von einem Curvenpunkte x, y mit ^<0 

 geht, wie unmittelbar ersichtlich, eine Tangente, für dessen 

 Berührungspunkt ^ , i^ die Abscisse ^ zwischen und 1 liegt; 

 der Richtungskoefficient dieser Tangente soll um weniger als eine 

 vorgeschriebene positive Grösse Ä vom Richtungskoefficienten der 

 Tangente in x, y abweichen; es soll m. a. W. die nach den 

 Voraussetzungen offenbar immer positive Differenz F{x) — F'(k) < k 

 sein. Wenn dies der Fall ist, so gilt offenbar dasselbe für .^■ > ,. 



Die vollständige Lösung der hiermit gegebenen Aufgabe ist 

 nicht besonders leicht oder einfach. Das gegenwärtig für uns- 

 wesentlichste ist aber nicht diese vollständige Lösung, sondern 

 vielmehr nur der Nachweis, dass Lösungen überhaupt möglich 

 sind — was wir in der That a priori kaum bezweifeln können,, 

 aber doch streng beweisen müssen, was wiederum nur erfordert,, 

 dass eine specielle Lösung angegeben wird. Um dies in ein- 

 facher Weise zu erreichen, kann man folgendermassen verfahren.. 



Zunächst verändern wir die Aufgabe so, dass die Linie {x ,y) 



(^ , iq) durch (x , y) (0 , 0) ersetzt wird, also F'(^) durch 



y : X , und setzen überdies fest, dass F(x) — {y : x) nicht nur 

 immer < l , sondern auch ko7ista7it = ^ <; A sein soll. Nachdem 

 diese verwandte, aber einfachere Aufgabe gelöst worden ist, 

 werden wir nachsehen, ob die erhaltene Curve, wenigstens für 

 hinreichend kleines q, auch den ursprünglichen Bedingungen 

 genügt. 



