438 BRODÉN, DERIVIRBARB FUNKTIONEN ETC. 



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Wenn also [m„] den kleinsten numerischen Werth eines zu X^^ 

 gehörenden Richtungskoet'ficienten bedeutet, so soll 



imn] 



sein. Dies lässt sich immer realisieren. Und die eingeführte- 

 Specialisierung hinsichtlich G ist auch mit dem gehörigen Ver- 

 halten der Differenz 



(7 a) (?-(^)_ ^(^- + ^]-g (f) 



verträglich. Man ersieht dies am einfachsten, wenn man die 

 Curve j/ = F{x) selbst so abändert, dass der Bogen zwischen 

 J/j und M^ durch die Gerade M^M^ ersetzt wird. Es sei etwa, 

 ■m > . Die zur a'- Achse, parallele Gerade durch M^ schneide 

 die Curve in einem Punkte mit der negativen Abscisse x' . Von 

 .T = — 1 an bis .t = x' ist dann, wie vorher, die DiJSferenz (7) 

 mit negativem å höchstens gleich F'{x) — /^'(^) und also < ^„ . 

 Von x' an bis x = jt/j (Abscisse für J/j) ist dagegen die Differenz. 



(7) mit d < höchstens gleich 



(8) F'{x)-^-^^^, 



^ ' X /,<2 



Avo (.1.^ , ^2 »^iß Koordinaten von M^ bedeuten. Es ist aber leicht 

 ersichtlich, dass zwischen den genannten Grenzen 



0>^^:^^>F'(^), 



X — «2 



weshalb die Differenz (8) a fortiori < ^„ wird. Für {.i^ < .?; < 

 gilt ähnliches, aber wir brauchen ja in der That hier nicht die 

 Differenz (7) zu berücksichtigen, sobald nur dafür gesorgt ist, dass 

 \9n\<i g wird. Ähnlich für m < . 



Zweitens sollte das Produkt (1) konvergiren. Der Richtungs- 

 koefficient von y = F(xy an der Stelle Ä ( — 1 , — in) ist nach; 

 (5) gleich m + ^„, das Verhältniss desselben zu rn also, da m 



