440 BRODÉN, DERIVIRBARE FUNKTIONEN ETC. 



Stetige Funktionen mit überall dichten Maxima und Minima 

 und mit überall bestimmten und endlichen Werthen von / (^) 

 und /_(^') lassen sich folgendermassen darstellen. Es bedeute 

 Lq denjenigen Theil der Geraden y = x , welcher etwa zum x- 



Intervalle 1 gehört. Von L^ ausgehend, konstruire man 



eine Reihe von gebrochenen Linien Ly , L^ i„ (als 



Funktionen mit y = fy{x) , f^i^) bezeichnet), nach folgenden 



Recursionsregeln. Man wähle eine beliebige konvergente Reihe 

 positiver Grössen 



l' h h 



Es bedeute [?7^n] den numerischen Werth der numerisch kleinsten 

 unter den Richtungskoefficienten der i>„-Glieder. Und es sei 

 AB ein beliebiges Ln-G\ied mit dem Richtungskoefficienten m . 

 Man wähle Qn , mit sgn ^„ = sgn m , so dass 



I Q.n I < ^« • [w^h] 



ist. Man bilde nachher die Curve (4), mit q = p„ und inter- 

 poliere zwischen A und B eine konforme x\bbildung des zum a- 



Intervalle — 1 + 1 gehörenden Theiles dieser Curve. Die 



also von A bis B gehende Curve ersetze man durch ein darin 

 eingeschriebenes Polygon G{x) mit folgenden Eigenschaften: die 

 Verbindungslinie der zwei Maximuin- und Minimum-Stellen M^ 

 und M^ soll ein Glied in G sein, und die Differenz (7 a) soll, 

 wenigstens für die oben näher angegebenen x und ö numerisch 

 kleiner als etwa /? • | ^n | sein, wo ß eine endliche Grösse > 2 

 bedeutet (was zufolge der Eigenschaften der Curve (4) möglich ist). 

 Die durch Ausführung dieser Operation auf alle Z„-Glieder ent- 

 stehende gebrochene Linie sei X,^^.l . Dann hat die Grenz- 

 funktion lim fj^w)=f{x) die angegebenen Eigenschaften. 



7i = cO 



Und es gilt überdies, dass (wie oben dargelegt wurde) an 

 allen »sekundären» Stellen f{x) völlig bestimmt ist: nur an den 

 successiv eingeführten Ecken, zu denen auch die Maximum- 

 Minimum-Stellen gehören, sind fj^{x) und f_{x) (wenigstens im 

 Allgemeinen) von einander verschieden. 



