ÖPVERSIGT AP K. VBTENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR, 1900 NIO 5. 661 



On vérifie immédiatement que les valeurs ainsi trouvées satis- 

 font au Systeme proposé. En effet, on a 



^ +00 +00 



et, la serie double du second membre étant absolument conver- 

 gente d'apres l'hypothese faite sur les ^«,,, on aura 



+ 00 



ou la somme ^^ s'etend å tous les nombres entiers divisibles 

 par ^, la sorame "2^ å tous les diviseurs de — ; la derniére 

 somme étant nulle, sauf pour m ^= q, on a donc 



+ 00 



2 ^V- = ^^? (e = 1 , 2, . . . , + co) 



ce qui démontre que les x définis par la formule (3) représente 

 la Solution la plus generale du Systeme proposé qui satisfait ä 

 la condition énoncée plus haut. 



Or, comme nous al lons voir, on peut aussi résoudre le Sy- 

 steme (1) par l'emploi de déterrainants infinis, ce qui nous four- 

 nira une nouvelle definition des facteurs de MöBius. 



En efFet, désignons par t un nombre positif < 1 et posens 



(4) ocu = f^yic ; 



désignant par a^^x un nombre egal å 1 ou å O selon que I est 

 ou n'est pas divisible par k, ^) le systéme (1) prendra la forme 



+ 00 



(5) "^ar.^t^-^yk^^uyt-^ {v=l, 2, ... + oo). 



Pour décider si le déterminant de ce systéme est conver- 

 gent, nous considérons la serie double 



(6) ^a^.^tJ^-^ 



v, k- 



étendue a toutes les valeurs v et k telles que v 4= k. 



^) De cette definition résulte, en particulier, que ak.X = si ^-<]^'. 



