662 VON KOCH, SUR LES FACTEURS DE MÖBIUS. 



D'apres la definition des rt^.t on pourra écrire cette serie 

 sous la forme 



(p(?n) désignant le noinbre de diviseurs (y compris m et 1) de m, 

 Comme q)(m)<.m et que la serie 3>i^™ converge (puisque i(<l), 

 nous voyons donc que la serie double (6) converge [cette serie 

 étant composée de termes positifs nous pouvons dire, de plus^ 

 que cette serie converge absolument]. 



Donc le déterminant infini forme par les elements 



a^i^^— " (k, V^l, 2, ..., +oo) 



converge absolument et est de la forme normale. ') 

 Désignons ce déterminant par z/': 



(7) J' = \ar.ltt''-''\y,k=l,^2,...,+^■ 

 Si Ton prend t = 1 de sorte que l'eleraent 



av.k't''~'' = ay.k 

 est egal a 1 ou a selon que k est ou n'est pas divisible par 

 V, le déterminant ne change pas de valeur et ne cesse pas de 

 converger absolument: ce déterminant cessera d'etre de forme 

 normale mais appartiendra å une classe jouissant de propriétés 

 tout analogues que j'ai étudiée au n:o 14 de mon memoire cité 

 plus haut. -) On peut donc écrire J' sous la forme 



(8) ^ = I ötj/.i |)', i = l, 2, ..., +0= • 



Tous les elements au dessous de la diagonale principale 

 {k < v) étant nuls, la valeur de J est égale a 1. Donc, le 

 déterminant du Systeme (5) n'etant pas nul, on peut appliquer 

 a ce Systeme un resultat, relatif a la resolution de systémes in- 

 finis d'equations linéaires, que j'ai démontré au n:o 4 de mon 

 travail Sur les integrales regulier es des équations différentielles 

 linéaires (Acta mathematica, t. 18). 



^) Pour la definition des déterminants de forme normale, voir mon mém. Acta 



mathem., t. 16. 

 ^) En adoptnnt un nom proposé par M. Vivanti (Annali di Matematica, 1893) 



les déterminants de cette classe s'appellant déterminants normaloides. 



