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Öfversigt af Konj;!. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar 1900. N:o 5. 



Stockholm. 



Meddelande från Stockholms Högskola. 



Sur la. distribution des nombres premiers. 

 Par Helge von Koch. 



(Communiqué le 9 Mai 1900 par G. Mittag-Leffler.) 



Soit X un nombre positif donné; pour simplifier les énoncés 

 suivants, nous le supposerons non-entier. Désignons par e{x) la 

 som me des logarithmes naturels de tous les nombres premiers 

 < X et posens 



ip{x) = 6{x) + e{x^i) + e{xi) + . . . 

 de sorte que ip{x) désigne le logaritlime du plus petit commun 

 multiple de tous les nombres entiers ■< x . 



Dans son memoire sur les nombres premiers (présenté en 

 1850 å TAcadémie de Saint Pétersbourg), Tchebycheff å dé- 

 montré que cette fonction ^'{x) reste comprise entré kx et Kx ^ 

 k et K désignant deux nombres positifs; dans un autre travail 

 (Journal de Liouville, t. 17, p. 341), l'illustre géometre a dé- 



. , . '''(•«) 1 ,• • 



raontre que si le quotient — -^ tend vers une limite pour a' = co, 



X 



cette limite ne saurait étre différente de Vunité. Plus tärd, des 

 demonstrations nouvelles de ce théoréme ont été données par M. 

 Phragmén (Öfversigt af K. V. A. Förh. 1891) et par M. PoiN- 

 CARÉ (Journal de M. Jordan, 1892). En s'appuyant sur le 

 théoréme de M. Hadamard (Journal de M. Jordan, 1893), M. 

 Hadamard (BuU. de la Soc. mathém. de France, 1896) et M. 

 DE LA Vallée Poussin (Ann. de la Soc, se. de Bruxelles, 1896) 

 sont parvenus, simultanément, å des demonstrations rigoureuses 

 de la formule 



lim ^ = 1 pour X = oc . 



