670 VON KOCH, SUR LA DISTRIBUTION DES NOMBRES PREMIERS. 



Et tout récemmeiit M. de la Vallée PoüSSIN (Mém. Cour, 

 et autres mém. publ. par I'Acad. royale de Belgique, 1899) a 

 réussi ä démontrer que l'on a 



|t//G^)-.r|<^.^'(2J|^ 



Q' 



K étant une constante et la somme ^^ s'etendant å tous les 

 zéros imagiuaires de la fonction C{s) de Riemann. 



De cette formule résulte, en particulier, que si Ton admet, 

 avee Riemann (Werke, p. 136) (Cf. la note å la fin de p. 671) 

 que, dans chacun des zéros q, la partie reelle soit = ^ , on aura 

 pour I yj(^a;) — a; \ une liniite supérieure de la forme Kx* , resul- 

 tat qui coincide avec celui obtenu par Stieltjes (C. R. [Paris] 

 t. 101). 



On peut aller un peu plus loin par la méthode employée 

 dans mon memoire Suq' la distribution des nomhres premie7's 

 (Acta Mathematica, sous presse). Cette méthode est basée sur 

 la remarque , suivante: &\ x Qt s sont deux nombres positifs, 

 l'expression 



(1) l-er^ 



tend, pour ér =: co , vers 1 , 1 — e^'^ ou O selon que c-r > 1 , 

 ^ = 1 ou A" < 1 . 



Appliquant cette remarque ä Tétude d'une formule d'EuLER 

 je démontre (mém. cité, §§ 1, 2) la formule suivante pour ipix) 



+«) 



(2) \p{x) = — lim > ^~ ' x^'Zivs) 



J'=l — 



C'(s) 

 Z{i) désignant la dérivée logarithmique yr^ de la fonction C(s) 



de Riemann, ainsi que des formules analogues pour d'autres 

 fonctions numériques. 



A l'aide de ces formules, je parviens a quelques formules 

 asymptotiques pour ces fonctions et, en particulier, au théoreme 

 suivant: 



