«ÖPVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1900, N:0 5. (571 



Si Von adinet, avec liiemann, que la partie reelle de 

 cliaque racine imaginaire de 'C{s) eat égcde ä i, ^) la dijjférence 

 ip{x) — a: , J90W7' les valeurs croissantes de x, ne peut pas etre 

 inßnie d\in ordre supérieur ä celui de x-^^" , a désignant un 

 nonibre positif aussi petit qiion le veut. 



Comme la difFérence entré \p{cc) et e{x) est iiiférieure å ^x , 

 Ja méme conclusion s'applique å la fonction e{x)] et, en m'appuyant 

 :sur une formule de M. de la Vallée Poüssin,^) j'en déduis ce 

 théoréme relatif å la fonction F{x) qui exprime combien il y a 

 de nombres premiers <. x: 



Si Von fait la méme Tiypothése que plus haut relative å C(s) 

 ■et que Von définit, selon Vusage, le logarithme integral Li{x) 

 par la formule: 



1 — 6 X 



j-.. . ,• r r d^ , r dx 



Li(x) = lim I r (- 



ff=o [J log X 



o l+i 



X / log X 



log 



■la différence entré F{x) et Li{x) ne peut pas étre d'un ordre 

 ■supérieur ä celui de x'^'^" , g désignant un nombre positif si petit 

 ■que Von veut. 



On peut obtenir une nouvelle demonstration de ces resul- 

 tats en combinant la remarque faite plus haut sur l'expression 

 (1) avec une formule établie par M. de la Vallée Potjssin 

 dans un travail antérieur a celui cité plus haut ^) et qui peut 

 s'ecrire sous la forme suivante (s étant quelconque) 



+ 00 



2m 



(2m + s) ~^ q(q — s) 



') Aucune demonstration de ce théoréme n'a encore été publiée. Mais M. Jersen, 



qui assure avoir trouvé une demonstration rigoureuse, a promis de la publier 



prochainement dans les Acta Mathematica (Voir la note de M. Jensen, Acta 



Math., t. 22). 

 ^) Sur la fonction 'Q{s) de Riemann et le nombre des nombres premiers inférieurs 



ä une limite donnée, p. 60 (Mém. cour. et autres Méni. publ. par l'Acad 



royale de Belgique, 1899). 

 ^) Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers. Ire partie, p. 34 



(Ann. de la Soc. se. de Bruxelles, 1896). 



Öfvers. nf K. Vet.-Akad. Förh. 1900. Arg. 57. N:o 5. 9 



