672 VON KOCH, SUR LA DISTRIBUTION DES NOMBRES PREMIERS. 



oü la somme ^ s'etend å toutes les puissances (p, p-, p^, . . .) 



de nombres premiers plus petites que a; , la somme 2^ å toutes- 

 les racines imaginaires de 'l{s). *) 



Pour le montrer, portons les valeurs 



Z{vs) = j^ 

 qui s'obtiennent par la formule (3), dans la serie 



+ °o 



il viendra 



(4) 'F(^', s) = — cr(l — e-i) + «//(/r) (1 — g-^) 



-2(1- ö-"'^~™0 logi? 



+ A — S— T 

 GU nous avons pose, pour abréger 



A ^'io)n n V^ 1 (-1)"-' 



C(o) / j i — vs \v 



4- CO + 03 



s 



V^ Y^ ys..^-2» (— 1.)"- 



^ / ^ / > 2^n(2m + vs) \v 



v = 1 «t = 1 



+ CO 



Y^ >n x^g-.y^' (— ly^-^ 



v = l 



Or en vertu de la formule d'EuLER (Introd. in anal. inf., t. I, 

 Cap. 15): 



2p~^\ogp + .3p~2' logjt? + . . . = — Z{s) 

 on trouve (voir § 2 de mon mém. cité plus haut): 



^) D'apres un théoréme bien connu de M. Hadamard (Journal de math., 1893), 



1 



la serie JSb ^ , ^ converge absolument, o désignant un nonibre positif quel- 



conque. 



