674 VON KOCH, SUR LA DISTRIBUTION DES NOMBRES PREMIERS. 



On a donc 



s 



vs)\~ 



s 



q{q — ^) 



=: S'' 



s^-<^ ^^.sy 



1 



Q{Q-s) -'[2] 



QiQ—sy 

 1 



d'oü s'obtient, dans l'hypothese Mq = 1 , 



^? 



D'apres le tliéoréme de M. Hadamard cité plus haut, la serie 

 1 



a+ff 



est convergente quel que soit le nombre positif a. 



Par suite, pour s = o;- , la quantité \ T\, pour les valeurs 

 croissantes de x, ne pourra pas étre infinie d'un ordre supérieur å 

 celui de ^2+2^ . 



Mais de la résulte, d'apres la formule (6), que la difFérence 

 I ip{a;) — a; | est d'ordre inférieur a a^'^° , e désignant un nombre 

 positif si petit qu'on le veut. C. q. f. d. 



D'apres ce que nous avons dit plus haut, il résulte de ce 

 théoreme que la difFérence \F(/c) — X^'(.^r) | est égaleraent d'ordre 

 inférieur a ,2?^'*"^ • 



D'autre part, M. Phragmén a démontré récemment que la 

 difFérence | F(a;) — Li{x) \ ne saurait étre d'ordre inférieur ä 

 x''i~^\ e' étant positif et arbitrairement petit. 



Pour ces raisons on pourra donc dire que si la formule 



de RiEMANN est exacte, il est certain que l'erreur commise en - 



posant 



F(a?) = Li{a;) 



est de l'ordre de y,v. a(x), a{x) étant une fonction qui, quelque 

 petit que soit a, est <,j;+" des que x est suffisamment grand et 

 >.'r~^ pour une infinite de valeurs de w. 



