676 JOHANSON, LAMÉSKA FUNKTIONER. 



Intervallet {a^a,^ ligger inom intervallet {e^e^ och likaledes 

 intervallet (b^b^) inom {e^e^). 



Då a; genomlöper intervallet (ajrto)) låta vi u genomlöpa in- 

 tervallet («^«2)5 intervallet (b^b^) för ,v må motsvaras af inter- 

 vallet (/?i/?2) för v. 



Det af Klein^) uppställda oscillationsteoremet lyder: man 

 kan alltid och endast på ett sätt bestämma konstanterna A och 

 B, så att de Laméska funktionerna Em{u) och En{v) äro lösningar 

 till differentialekvationerna 



^^ + (^^ + ^)Em{u) = O ; ^^ + {Ax + B)Elv) ^ O ; 



att Em{u) är noll för u = a^ och u = a^ och för intervallet 

 («^«2) h^r '^ halfoscillationer; 



att En{v) är noll för w = /?i och v = ß^ och för intervallet 

 {ß\ß^ har n halfoscillationer. 



I det följande skall jag visa, huru dessa funktioner jEjn(ii) 

 och Eniy) förlö-pa^ huru nollställena till desamma äro beroende 

 af konstanterna A och B och omvändt, söka gränsvärden för 

 A och B för gifna m och n samt gränsvärdena för vissa ut- 

 tryck, S07n förekomina, då man utvecklar i serie efter Laméska 

 funktioner. 



Kap. I. 

 Undersökningar öfver uttrycket Ax + B. 



1. Låt oss antaga, att det finnes en integral E{u) till dif- 

 ferentialekvationen 



som är kontinuerlig för intervallet (a^a.,), som blir noll i punk- 

 terna a^ och a., och m — .1 mellanliggande punkter. 



') Klein. Matliematische Annalen Bd. 18. 



