690 JOHANSON, LAMÉSKA FUNKTIONER. 



z = sin a\jc — a^{u — «/) 



måste hafva sin (m + l):te nollpunkt för ett värde u < «2 (-^ < ^^a)» 

 om kurvan E{u) skall kunna hafva sin (m + l):te nollpunkt i 

 punkten u = a^(^x = a^)- Således är 



Om kurvan hela intervallet {ccicc^) är konkav, jämföra vi 

 kurvan med integralen till differentialekvationen 



dP-z 

 -+a\c-a,)z=0 



z = sin «Ve* — a^{ii — «j) . 



Såväl «^(c — «2) so^^i "^(^ — ■^) åro för intervallet (a^a^ 

 positiva och dessutom är a\c — a;) > a\c — aj). Om då 



«Ve — ao(a2 — ai)>m7r, skulle E(ii) hafva sin (m + l):te noll- 

 punkt för ett värde u <C ce^. Häraf följer, att 



Öfvergår åter kurvan från konkav till konvex, så ligger 

 x =^ G inom intervallet (a^a^). Vi jämföra därför E(u) med inte- 

 gralen till differentialekvationen 



-+a%c-x)z = 



z = sin a]/ G — w(u — a^) , 



hvarest x är det «-värde som beläget mellan a^ och g gör ut- 



trycket Ye — x{u — a^) till ett maximum. Om vi med u be- 

 teckna det mot X svarande w-värdet, erhålles 



d 2(c — ^) — (w— «,)£ 



-j-Vg — a;{u — «1)= ; = O 



du' ^ ^' 2]/g — x 



~ = y{x— e^) (x — e^) {x — ^3) 



och således 



2{c — x) = {u — «0V(^ — ^1) (-^ — ^2) (^ — ^.?) 



