748 BRODÉN, FORTGES. UNTERSUCHUNGEN ÜBER DERIV. FUNKT. ETC. 

 fp + li.^ + d)—fp + ^{x) 



(6) 



d 



beliebig wenig von lim nip verschieden. Andererseits differirt 



(6) von 



(7) /(-^ + ^ —f{^) 

 um 

 (8) 





und diese beiden Quotienten sind numerisch kleiner als 



X aia ' X Xß ' 



wo Xa und Xß gleich ^^yJ+l,2 t)ez. {x + (5)^,+i, i oder ä?j,+i, i bez. 

 (.r + (5)p+i, 2 , je nachdem d > oder (5 < . Die beiden 

 Grössen (9) sind aber, wie oben, bei (5;, gezeigt wurde, unab- 

 hängig von X und x + d , für hinreichend grosse p beliebig klein 

 (numerisch); dies gilt also auch für die Differenz (8). Für hin- 

 reichend grosse j) ist folglich (6) beliebig wenig verschieden so- 

 wohl von (7) als auch von lim rripi^x) . Die Differenz zwischen 



p = CO 



diesen beiden letzten Grössen wird daher auch beliebig klein, so- 

 bald nur \d\ hinreichend klein ist (und also p hinreichend gross). 

 Dies involvirt unmittelbar, dass lim mn(x) := f'{x) ist, w. z. b. w. 



Satz 2. Die Stetigkeit von /(.r) und die ausnahmlose Be- 

 stimmtheit und Endlichkeit von fix) bez. /^(.t;) und/^(.r) können 

 bestehen, auch wenn die Konvergenz der Reihe (3) ß) nicht statt- 

 findet. Und namentlich wird dies der Fall, wenn man sich 

 folgenderm assen einrichtet: 



Die Voraussetzungen 1) und 3) des Satzes 1 sollen in unver- 

 änderter Form gelten, sowie auch die Quotienten (2) immer 

 positiv sein, und die Reihe (3) «) konvergiren. Es sei ferner 



9o^ 9\^ 9-^ •■■ 9n ■ ■ ■ 

 eine konvergente Reihe positiver Grössen. Bei allen i^-Gliedern 

 (rf > 0) mit |(2re — i|^^«-i sollen die Quotienten (2), unab- 



