ÖFVBRSIGT AP K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1 900, N:0 ß. 749 



hängig von x , je grösser als 1 — iVn sein, also 

 J 



Min 



AVO 



>1 — w,,, Min 



rrir 



> 1 — ?«„ , 



lü(^ , 10^ , U\, , . . , lOn , . . . 



eine andere konvergente Reihe positiver Grössen (durchgehends 

 < 1) bedeutet. Für alle n (> 0) sollen aber auch X„-Glieder 

 mit I qn — i I < ffn—i vorkommen; bei gewissen unter ihnen, welche 

 nach beliebigen Regeln ausgewählt werden können, brauchen die 

 Minima der (immer als positiv vorausgesetzten) Quotienten (2) 

 keine besonderen Bedingungen zu erfüllen. — Die letzterwähnten 

 Glieder werden im folgenden als Glieder zweiter Klasse bezeich- 

 net, alle übrigen als Glieder erster Klasse. 



Diese Modifikation des vorigen Satzes erfordert beim Beweise 

 folgende Veränderungen. 



Die Stetigkeit von f{a;) geht wie oben hervor. Auch der 

 Beweis, dass mn{x) bez. niniix) und run^ix) bestimmte endliche 

 Grenzwerthe haben, gilt noch völlig unverändert. Um nachzu- 

 weisen, dass 



(10) fix) = lim ?n„ , f'_{x.i) = lim m^i , /+(.r,) = lim »i„2 

 ist, zeigen wir zunächst, dass bei gegebenein n, unabhängig von 

 x^ die beiden Grössen 



(11) liMiz/^MJund l/(^)-/»('^)l 



X Xji\ OCjii ■ X 



je kleiner als ein für ?i = oo verschwindendes ff„ sind (wobei 

 nur diejenigen x nicht in Betracht kommen, welche zu X„-Ecken 

 gehören). Dies war in der That beim Beweise des Satzes 1 eine 

 wesentliche Sache, und ging aus der Ungleichheit (5) und einer 

 analogen hervor. Jetzt lässt sich der Beweis folgendermassen 

 führen. Es sei zunächst x eine ganz beliebige sekundäre Abscisse. 

 Dann gehört x für jedes ^ ^ zu einem völlig bestimmten Gliede 

 AoBo der gebrochenen Linie Ln+o- Wenn AgBo zur ersten 

 Klasse gehört, so ersieht man ganz wie beim vorigen Satze, dass 



(12) \UM^)-U,{ ^ ^ I ^^^ ^^ I ■ L-.,, < Q • U.. 



