750 BRODÉN, PORTGES. UNTERSUCHUNGEN ÜBER DERIV. FUNKT. ETC. 



wird, wo Un jetzt die grössere unter den beiden Quantitäten u^ 

 und lOn bedeutet. Ist dagegen AoBn ein Glied der zweiten 

 Klasse, so ist |m„+o| nicht nur mit Sicherheit <Q, sondern 

 auch < I m,j+p_i | • ^„+o_i , und also < Q • gn+o — i • Da ferner die 

 Quotienten (2) jetzt, wie bei Gliedern ersten Klasse, < 1 + m,j 

 sein sollen, nicht aber länger > 1 — iVn sondern nur > = 1 — 1 

 sein müssen, so ist hinsichtlich des Quotienten (12) zu sagen, 

 dass derselbe kleiner als das grössere unter den zwei Produkten 

 Q- gn+o—\- Un+() und Q- gn+o-i'^ ist. Wenigstens für hin- 

 reichend grosse n ist aber Un+o nothwendig < 1 , und also das 

 letztgenannte Produkt das grössere, folglich der Quotient (12) 

 mit Sicherheit <iQ-gn+Q—\. In Betracht der (für Glieder 

 ApB„ erster Klasse geltende) Ungleichheit (12), besteht also, 

 sei es dass AoB^ zur ersten oder zur zweiten Klasse gehört, 

 wenigstens für hinreichend grosse n , unabhängig von x , die 

 Ungleichheit 



WO Vn-^-o die grösste unter den drei positiven Quantitäten 11^+^ , 

 Wn+p, gn+f)~i bedeutet. Durch Summirung und Grenzübergang 

 erhält man hieraus 



(14) |/(^)-.A(^ r)J^ - 



n 



Hier wird das rechte Glied beliebig klein, wenn n hinreichend 

 gross; denn die F,(-Reihe konvergirt, da die t/.„- , w„- und g^- 

 Reihen nach unseren Annahmen konvergiren. Auch das linke 

 Glied, d. h. der erste der Quotienten (11), wird also (unabhängig 

 von x) kleiner als eine für ?i = od verschwindende Grösse. Wir 

 nahmen an, dass x sekundär sein sollte; wenn x primär ist, aber 

 für den betrachteten ?i-Werth noch nicht Eckenabscisse in X„ , 

 so gestaltet sich der Beweis in ähnlicher Weise; man hat nur zu 

 beachten, dass von einem gewissen q an fn+q(ß) = fn+Q + i{a;) = f(x) 

 wird, und dass also die genannte Summirung nur auf eine end- 



