ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1000, N:0 (J. 755 



kann (Coroll. I). In ganz ähnliclier Weise kann man immer 

 verfahren, wenn nur für EE' oder nur für F'E die Vorschrift 

 I </« I < 9n gelten soll. Wenn aber EE' und F'E beide dieser 

 Bedingung genügen sollen, so kann man die Interpolation auf 

 folgende Weise gestalten: es sei G etwa der mittlere Punkt von 

 EF'^ man konstruire einen Kurvenbogen EG, dessen Tangente 

 in E zur .■r-Achse parallel ist, und von E bis G sich durch- 

 gehends in derselben Richtung dreht; nachher einen kongruenten 

 Bogen FG] im ganzen Bogen EGF schreibe man ein Polygon 

 ein; es ist unmittelbar ersichtlich, dass auf diese Weise alle 

 jetzt fraglichen Bedingungen erfüllt werden können: es soll nur 

 die durch E gehende Tangente des Bogens GF einen hinreichend 

 kleinen Winkel mit EF bilden, ebenso der Winkel zwischen 

 EF und der Inflexionstangente in G hinreichend klein sein, und 

 endlich die Sehnen EE' und F'F hinreichend klein. 



Selbstverständlich sind in den fraglichen Fällen viele an- 

 deren Verfahren möglich: die angeführten sind nur besonders 

 einfach. 



5. Da wir also die Realisierbarkeit der Voraussetzungen 

 dargelegt haben, so folgt eo ipso, dass man auf die angegebene 

 Weise stetige Funktionen bilden kann, welche nicht nur an allen 

 sekundären Stellen, sondern auch an allen Stellen Mj , M^ (Max- 

 ima und Minima für Funktionen fni^)) eine völlig bestimmte 

 endliche Derivirte haben, in dem an diesen Stellen /'('^) = 

 wird (während an anderen primären Stellen /+(*-) und f'_{a!) 

 noch im allgemeinen verschiedene Werthe haben). Jetzt haben 

 wir zu zeigen, dass die Stellen M^ und M^ wirklich Maxima 

 und Minima auch für f(x) sind, und dass die zugehörigen 

 Abscissen in ihrer Gesammtheit eine überall dichte .2;-Menge 

 bilden. 



Zufolge der Annahme, dass die Quotienten (2) immer po- 

 sitiv sein sollen, gilt es immer, wenn {xj^i) und {xici/k) zwei kon- 

 sekutive X„-Ecken bedeuten, dass für Xi <i x <, x^ der Funk- 

 tionswerth f{x^ zwischen y, und y^ fällt [oder geometrisch ge- 

 sprochen: jeder zum Inneren der Abscissenstreeke Xi . . . x^ ge- 



