756 BRODÉN, FORTGES. UNTERSUCHUNGEN ÜBER DERIV. FUNKT. ETC. 



hörende Punkt der Kurve y = fix) liegt im Inneren des Recht- 

 ecks {x^yi) . . . {xt^yi) . . . {xk-yk) • ■ • (-^'i^i)]- Man nehme nämlich 

 zunächst eine beliebige sekundäre Stelle x zwischen Xi{= Xni) 

 und .^i(= Xn'i)- Aus der genannten Annahme folgt unmittelbar, 

 dass ?/w+i, 1 und yn+\,2 beide zwischen y„i und i/„2 liegen, nur 

 mit der Ausnahme, dass für Xn+\,\ = ^„i auch yn + i,i = i/m ist 

 (während yn+1.2 zwischen y^i und ?/„2 liegt), und i'üv Xn+i,2=^'^)i2 

 auch «/„+!, 2 = y«2 ist (während ^«+1,1 zwischen ?/„i und z/„2 liegt). 

 Ebenso fallen für ^ = 2, 3, 4...?/.„+^, 1 und yn+^,2 beide zwi- 

 schen yn+Q — i,i und yn+Q — 1,2, oder es ist höchstens ;^„+^^ 1 = 

 yn+Q-1,1 (für /i'^+p, 1 = a'm+p-i,i), oder ?/„+^, 2 = ?/«+() -1,2 (für 

 •^n+fi, 2 = -2''n+(> — 1,2)- Hieraus folgt, dass für einen beliebigen ^- 

 Werth m(>l) die möglichen Werthe von yn+m,i und yn+m,2 

 auf das Gebiet ?/,a . . . yn2 ') (incl. ?/„i und ?/,i2 selbst) beschränkt 

 sind. Wenn es ferner für irgend ein Q<^m gilt, dass Xn+p,\ 

 bez. .^■„+n, 2 nicht mit Xn+n^i,\ bez. ^'„+^ — 1,2 zusammenfällt, so 

 wird eo ipso der Fall yn+m,i — !/n,i bez. yn+m,2 = ^71,2 ausge- 

 schlossen. Nun kann es in der That nicht für alle ^-Werthe 

 gelten, dass Xn+f,^i = Xn+^-i,\ bez. Xn+(,,-2 = ^*^'n+(>-i,2 ist: dann 

 würde ja, unabhängig von q, Xn+f^^i = Xni bez. ■,t?„+^, 2 = •*'w2 sein, 

 was selbstverständlich ausgeschlossen ist. Bei hinreichend gros- 

 sem m gilt es also, dass wenigstens für einen ^-Werth <C m 

 •^«+0,1 nicht = A'„+^,_ 1,1 ist, und wenigstens für einen ^-Werth 

 < m Xn+(,,2 nicht = Xn + n~i,2- Folglich sind für hinreichend 

 grosses m die Fälle yn+m,i = ^n,i und ?/«+,«, 2 = ^«2 beide aus- 

 geschlossen, und es liegen somit ?/„+m, 1 und y„+,„, 2 beide wirk- 

 lich zioischen y^i und ?/„2. Für jedes p^m sind ferner, eben aus 

 den angegebenen Gründen, die Ordinaten yn+p,i und yn+p,2 ^.uf 

 das von ?/„+,„, 1 und yn+m, 2 bestimmte Werthgebiet hingewiesen. 

 Da endlich 



lim yn+p, 1 = lim y^+p, 2 = fi^f^) 



p = cx> p = co 



^) Wir köunen ja immer das vou yni und yn2 (incl.) bestimmte Werthgebiet so 

 bezeichnen, unabhängig davon ob yni <^ yn2 oder ynl ^ yn2 ist (der Fall 

 y,il = yn2 kann bei unseren Voraussetzungen nicht vorkommen). 



