ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1000, N:0 0. 757 



ist, so folgt, dass f{x) zwischen )j„^{= y^ und y„.i{= iji,) liegt. 

 Wir nahmen an, dass x sekundäre Stelle war; dass ganz dasselbe 

 auch für primäre Stellen gilt, geht ohne Weiteres aus der obigen 

 Darstellung hervor. 



Jetzt folgt unmittelbar, was zunächst zu beweisen war: wenn 

 {a:,yi) . . . (c^^^/^) . . . {^kyk) konsekutive Z,j-Ecken sind, und xi etwa 

 Maximumstelle für fn{^)-, so dass yi<yh yk<yi, so wird nach 

 dem soeben bewiesenen sowohl für xi < x < xi als auch für 

 Xi<ix<x,, die Differenz f{x) — yi negativ; es ist aber ?/j == 

 =fn{^x) =/(«), also/(.^') —/{iCi) < 0, d. h. Xi Maximumstelle auch 

 für f{x). Ähnlich für Minimumstellen. 



Zweitens war es zu zeigen, dass die Maxima und Minima 

 der Funktion f{x) überall dicht liegen. Wir haben von vorn- 

 herein vorausgesetzt, dass die Gesammtheit aller primären x 

 eine überall dichte Menge bilden. Strenge genommen hätten 

 wir schon beweisen sollen, dass unsere übrigen Annahmen mit 

 dieser Grundvoraussetzung wirklich vereinbar sind; dass dies 

 bisher nicht geschab, beruht nur darauf, dass die Sache so 

 augenscheinlich ist: die Überalldichtheit ist gesichert, wenn zwi- 

 schen zwei konsekutiven X„-Eckenabscissen xi und x^ immer 

 wenigstens eine i„+i-Eckenabscisse ^ interpolirt wird, für welche 

 der Quotient (^ — x^) : {x^ — ^) zwischen zwei festen endlichen 

 und von Null verschiedenen Grenzen liegt; wenn Xi . . . X/c die 

 Projektion eines Gliedes erster Klasse ist, so erfüllen die Ab- 

 scissen von 31^ und M^ diese Bedingung (s. d. vor, Aufsatz p. 

 430 — 31); bei Gliedern zweiter Klasse hat man freie Hände, die 

 Interpolation so zu gestalten, dass eine ganz beliebige Stelle ^ 

 zwischen Xi und Xk Abscisse einer //„+i-Ecke wird.^) Gesetzt also, 

 dass sämratliche Primärstellen überall kondensirt sind, findet man 



^) In der That gilt es übrigens, dass die Überalldiclitheit der primären Stellen 

 schon aus der Art der Interpolation erster Klasse imd der Vertheilung der 

 Glieder erster und zweiter Klasse eine Folge ist (bei Gliedern EF zweiter 

 Klasse kann mau also, mit den oben benutzten Bezeiebnungen, einfach so 

 verfahren, dass man nur die Glieder EE', E'F bez. EF' , F'F bez. EE', 

 E'F', F'F interpolirt, also eine endliche Anzahl). Einen ausgeführten Beweis 

 hierfür ist ja nicht nothwendig, hier darzustellen. 



