758 BRODÉN, FORTGES. UNTERSUCHUNGEN ÜBER DERIV. FUNKT. ETC. 



leicht, dass schon die Max.-Min.-Stellen überall dicht liegen. Es 

 sei nämlich A ... B eine beliebige Thei Istrecke; da die primären ,x 

 überall dicht liegen, kann man immer n so gross wählen, dass 

 beliebig viele X„-Glieder zum Abscissengebiete A ... B gehören; 

 diese können nicht, sobald ihre Anzahl nur grösser als 3 ist, 

 sämmtlich zur zweiten Klasse gehören; denn eine Gruppe von 

 konsekutiven Gliedern zweiter Klasse kann, zufolge den obigen 

 Vorschriften, höchstens drei Glieder enthalten; es sei A^ . . . B^ 

 die Projektion eines Gliedes erster Klasse (unter den genannten 

 X„-Glieder); bei der Übergang zu Ln+i werden zwischen A^ uud 

 B^ eine Maximum- und eine Minimum-Ecke interpolirt; also 

 enthält die Strecke Ay . . . B^ und folglich auch A ... B Maxi- 

 mum- und Miniraum-Stellen für /(■^')5 A ... B war aber eine 

 ganz beliebige Partialstrecke; die Maxima und Minima der 

 Funktion /(.?;) liegen somit überall dicht. 



6. Hier sei folgende kleine Bemerkung eingefügt. Wir 

 haben oben den gewöhnlichen, alten Begriff einer Maximum- 

 bez. Minimum-Stelle vorausgesetzt: es soll für hinreichend klei- 

 nes I å I 



f(x + ö) —fix) < bez. > 



sein, unabhängig vom Vorzeichen der Grösse d. Heutzutage 

 wird bisweilen der Begriff ein wenig allgemeiner gefasst, indem 

 man nur verlangt, dass 



f{x + ö)—f{x)<0 bez. ^0 



sein soll. Unter Zugrundelegung dieses verallgemeinerten Be- 

 griffes würde der obige Beweis, dass M^ und M^ auch für f{x) 

 Maximum (Min.) bez. Minimum (Max.) sind, offenbar viel ein- 

 facher gestaltet werden können. Man könnte überdies die Vor- 

 aussetzungen ein wenig erweitern: hinsichtlich der Quotienten 

 (2) wäre die xlnnahme positiv oder gleich Null hinreichend 

 (wobei jedoch zu bemerken ist, dass m^ oder m„2 niemals gleich 

 Null sein kann, da schon in Art. 2 angenommen wurde, dass q^ 

 niemals verschwinden sollte). 



