790 VON KOCH, NOMBRE ENTIER PREMIER Oü COMPOSÉ. 



Dans cette formule, remplacons s par vs, multiplions les 



deux membres par 



(_iv-i 



.a; désignant un nombre entier donné et faisons la somme des 

 égalités obtenues en prenant successivement v = 1, 2, etc. 



En raisonnant comme au § 1 du memoire cité plus haut 

 (Acta matheraatica, t. 24) et remarquant que 



(-rr-i 





2 V "^ ..vs 



\v — l "" 



(oü il faut mettre \v — 1 = 1 pour v = 1) on trouve par la 



>i ' v = l I 



la somme ^;. s'etendant a tous les nombres entiers positifs, la 

 ■somme 3^ ä tous les nonabres premiers. 



On démontre sans difficulté (Cf. loc. cit. § 1) que la serie 

 "figurant au premier membre de la derniére formule converge 

 uniformément pour les valeurs reelles de s jusqu'a s = oo. Pas- 

 sant å la liraite on a donc 



y y ][mU^\e ^"""^ =lim2^-^~^^r"MogC(j^s). 



Deux cas sont maintenant a distinguer: ou bien w est egal 

 a la puissance d'un nombre premier, soit o: = j)^''^ dans ce cas 

 il y a un seul terme dans le premier membre qui n'est pas nul, 

 •et ce terme a pour valeur 



ou bien x n'est pas egal a la puissance d'un nombre premier; 

 <lans ce cas, tous les termes du premier membre s'annulent. 

 Donc l'expression 



--« c lV'~i 



