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k la valeur y^"' dans le premier cas, la valeur snilla dans le 



A 



second cas. 



Par la se déduit un critere poiir distinguer les puissances 

 de nomhres premiers des autres nombres entiers. 



On trouve un autre critere qui parait plus commode pour 

 le calcul en partant de la formule 



(3) ^P-' ^""^P + 2-^"'^ log /> + ... = -|^^ 



obtenue par la différentiation de la formule (2). Procédant 

 comme tout å l'heure et posant pour abréger 



?w = ^^''^ 



on trouve 



w zM^^)'' ''' p = -^ ^^'-^'-^i-) 



d'oü l'on conclut, d'apres la formule (1) que le second membre 

 tend, pour s = co, vers la limite e"^ logp ou O selon que cV est 

 ou n'est pas egal a la puissance d'un nombre premier p. 



Pour pouvoir appliquer ce resultat, nous partageons la som me 

 figurant au premier membre de (4) en trois parties S^, S.^ et S.^, 

 S^ désignant zéo^o ou e~^\ogp selon que x n'est pas ou est de 

 la forme p^, 





0^> 



désignant une somme étendue å toutes les puissances p^ < x et 



X \ ~ w/ 



o, = 



p'- > X 



P' 



.-2 äh " |°ii' 



étant la somme de tous les termes ou Ton a p^ > x. 



Pour évaluer l'ordre de grandeur de ä, , il suffit de re- 

 marquer que la fonction ye~y, pour les valeurs reelles de y > 1> 



Öfvers. af K. Vet.-Akad. Förh. 1900. Arg. 51. N:o 6. 7 



