830 WIMAN, ÜBER KETTENBRUGHENTWICKELÜNGEN. 



Wenn wir hier die Frage wieder aufnehmen, so geschieht 

 dies aus zweierlei Gründen. Einmal wollen wir nämlich einen 

 Beweis jener GYLDEN'schen Behauptung über die verschwindende 

 Wahrscheinlichkeit für Divergenz gewisser Reihen erbringen ; ^) 

 dies wird um so mehr erwünscht sein, als der GYLDEN'sche Ver- 

 such den Satz plausibel zu machen nicht eben als gelungen be- 

 trachtet werden kann. -) Das Hauptziel, welches wir uns in 

 diesem Aufsatze setzen, ist aber dieses, dass wir bei unendlich 

 wachsendem v die Wahrscheinlichkeitsbestimraungen wirklich aus- 

 führen und uns also nicht, wie die citirten beiden Verfasser, auf 

 mehr oder weniger genaue Approximationen beschränken Avollen; 

 in solcher Weise erhalten wir einen Grenzwerth für die Wahr- 

 scheinlichkeit, dass ein Theilnenner a^ = k , wo k irgend eine 

 ganze positive Zahl darstellt. 



2. Den folgenden Entwicklungen legen wir die Voraus- 

 setzung zu Grunde, dass alle Theilstrecken zwischen und 1 

 von gleicher Länge gleichberechtigt sein sollen, d. h., dass die- 

 selbe Wahrscheinlichkeit besteht, dass /.i in eine solche Theil- 

 strecke wie in jede andere fällt. Wenn wir diese Voraussetzung 

 auch für beliebig kleine Strecken durchführen, so ergiebt sich 

 für eine rationale Zahl ^i, deren Nenner eine irgendwie fixierte 

 endliche Zahl nicht übersteigt, die Wahrscheinlichkeit Null. 

 Wenn also die folgenden Resultate zunächst nur für die Ent- 

 wicklungen irrationaler Zahlen Gültigkeit haben, so erlauben 

 dieselben doch auch Schlussätze auf rationale Zahlenmengen, 

 jedenfalls in den Fällen, wo die Bedingung der gleich dichten 

 Vertheilung annähernd erfüllt ist. 



Wir machen 'ferner in dieser Nummer einige Bestimmungen 

 nach Brodén, ^) welche für das Folgende nöthig sind. Bricht 



') Hier treten wir im Gegensätze zu dem von ß roden vertretenen Standpunkte, 

 nacli welchem die gedachte Wahrscheinlichkeitsfrage sinnlos wäre. Dem 

 gegenüber genügt es zu bemerken, dass wir beim Beweise nur die auch von 

 BrodÉn angenommene Voraussetzung zu benutzen haben, dass alle Theil- 

 strecken von gleicher Länge gleichberechtigt sein sollen. 



^) Om sannolikheten af inträdaude divergens etc., p. 85. Vgl. BrodÉn, 1. c, p. 263. 



-') Die entsprechenden Resultate bei Gylden sind, wie Brodkn bemerkt, nicht 

 völlig exact. 



