ÖPVERSIGT AP K. VETENSK.-AKAD. PÖllIIANDLINGAR I'JOO, N:0 7. 8^1 



man die Entwicklung (1) bei a,t ab, so erhält man eine Conver- 

 vergente des Kettenbruches (1) 



'^n / n \ 



— {(^l ) Ö!.> , . . . , U,i) , 

 Sn 



WO die ganzen Zahlen r„ und s„ zu einander relativ prim sind. 

 Wir erinnern vveiter an die bekannten Relationen: 



^'« + 1 = <^n + l''^n + ^"« — 1 ; S„+i = a,i^iSn + S^^i ] (2) 



^ji + T. __ !« ^ (— 1)" /gN 



^»i + 1 '^« ^?i'5« + l 



Sind nun a^ , a^ , ■ . ■ , (in gegebene Zahlen, nicht aber die 

 folgenden, so liegt /.i zwischen den Zahlen 



(a, , 0-2 , ... , ein) un(l («1 , «2 , . . . , a„ , 1). 



Es ist somit ^it auf eine Strecke von der Länge 



Li = (— 1)'' [(ffi , a^,..., a„, 1) — (aj , a^ , . . . , a„)] 



beschränkt. Nach (2) und (3) erhält man hieraus 



Sn\^u ~r Sn — i) 



Soll nun weiter a„+i^Ä;, so muss u in die Strecke 



(a, , «2 5 • • • r ««) (ßl , «2 ' • • • 5 «n , ^) 



fallen, für deren Länge /„i man 



1 



ij, 



Sn{ks„ + Sn-i) 



■findet. Die Wahrscheinlichkeit, dass f.i bei den gegebenen 

 <2, , (72 ) • • • 5 ^" ^^ dieser Strecke gehört, ist nach der Voraus- 

 setzung über die Gleichberechtigung gleich langer Strecken 

 4i- : Ini • Es ergiebt sich demnach, falls wir 



^n — 1 



= qn 



Sn 



schreiben, für die Wahrscheinlichkeit W^q^ , Je) , dass cin+i den 

 Werth k erreicht oder übersteigt, der Ausdruck 



