832 WIMAN, ÜBER KETTENBRüCHENTWICKELUNGEjST. 



^ A; + q,. 



Bezeichnen wir ferner mit F{cin , A:) die Wahrscheinlichkeit, dass 



a„+i eben den Werth k annimmt, so erhalten wir 



(5) f(,„, k) = [F(,., k)-^ TF(,;„, i + 1) = ^,^J)+^\^^^^ . 



Einen Hauptpunkt in den Entwicklungen bei Gyldén und 

 Brodén bildet die Bestimmung des wahrscheinlichen Werthes q 

 von qn bei unbegrenzt wachsendem «. ') Obgleich die dabei an- 

 gewandten Methoden auf Genauigkeit keinen Anspruch machen, 

 so werden wir doch finden, dass der von diesen Verfassern ge- 

 gebene Werth q = \2 — 1 mit dem richtigen völlig überein- 

 stimmt. Dagegen ist die Übereinstimmung mit dem wahren 

 Sachverhältniss nicht länger vollkommen, wenn man mit BRODÉisr 

 in (4) und (5) für </„ diesen Werth q substituirt, um Nährungs- 

 werthe der Wahrscheinlichkeiten zu erhalten, dass cin+i'^k bez. 

 a„+i = /c , welche letztere Wahrscheinlichkeiten mit Sn^k bez. 

 Dn, i bezeichnet werden. 



3. Bezeichnen jetzt q und q irgend zwei Stellen zwischen 

 und 1 , so machen wir zunächst die Voraussetzung, dass, falls 

 man bei diesen Stellen zwei gleich grosse aber sehr kleine Theil- 

 strecken abgrenzt, das Verhältniss der Wahrscheinlichkeiten, dass 

 qn in die eine oder andere von diesen Theilstrecken fällt, bei 

 fortgehender Verminderung der Strecken und unbegrenzt wach- 

 sendem n sich einem von n unabhängigen Grenzwerth nähert. -) 

 Trifft nun diese Voraussetzung zu, so kann eine Funktion f{x) 

 von solcher Art eingeführt werden, dass das obige Verhältniss 

 gleich /r 9'^') : /^g^^) wird. .Dass diese Funktion f{x) sich in sehr 

 einfacher Weise bestimmen lässt, werden wir sofort erkennen. 



') Wir bezeichnen g als den wahrscheinlichen Werth von c[n , falls die Wahr- 

 scheinlichkeiten, dass qn grösser bez. kleiner als q ist, gleich gross sind. Da- 

 gegen scheint Bkoden (nach den Erörterungen 1. c, p. 248, 253, 254) unter 

 dem wahrscheinlichen Werth einer Grösse den sonst als Mittelwerth bezeich- 

 neten zu verstehen. 



^) Dass diese Voraussetzung zutrifft, wollen wir in der folgenden Nummer dar-- 

 legen. 



