ÖPVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÜRIIANDLIN(5AR 1900, N:0 7. 833 



Von iriiend einer Tlieilstrecke q^ gelangt man zu verscliic- 

 denen Theilstrecken (/»+i > indem nach (2) 



_ s„ _ 1 

 <7m+i — ; — — 



S/i + l ttji + i + (j[n 



wo a„+i irgend eine ganze Zahl ^1 sein kann. Betrachten wir 

 nun von den letzteren Theilstrecken diejenige, für welche a„+i = /i;. 

 Wir bezeichnen die Länge der (/„-Strecke mit //g„ und diejenige 

 der entsprechenden ^„+i-Strecke mit Jcjn+i ■ Sind die Strecken 

 nun sehr klein, so nähert sich ersichtlich das Verhältniss dieser 

 Längen dem absoluten Betrage des DifFerentialquotienten von 

 qn+i nach q,i . Man erhält demnach 



,. ^iqn + l 1 2 



lim ^ — = -j-, tt; ^- q _ . 



Anderseits nähert sich nach (5) der in die betreffende (/n+i- 

 Strecke fortzusetzende Theil von den Fällen, welche zu der q^- 

 Strecke gehören, dem Bruche 



l + qn _ 1 + qn _9n + i(l + ?«) 



{k + q„) {k + 1 + q„) {k + q,,}^ (1 + ^„+a) 1 + q,,+i 



Nun stellt die Wahrscheinlichkeit, dass man bei irgend einer 

 Kettenbruchentwicklung in die Strecke z/qn gelangt, in directem 

 Verhältniss zu f{qn) • ^/qn ■ Nach den obigen Entwicklungen 

 folgt, hieraus, dass die Wahrscheinlichkeit, dass qn+i in die 

 Strecke Jqn+\ fällt, in directem Verhältniss zu der Grösse 



fn + l (1 + ^n) ., . . 1 + gn ,y x . 



1 , ^ /(?«) • ^qn = T , ' • Åqn) • ^qn+1 



J- + qn + \ J- + qn + 1 



stehen muss. Da dieselbe Wahrscheinlichkeit aber auch in 

 directem Verhältnisse zu f(qn+i) - ^qn+i stehen soll, so folgt 

 hieraus eine Gleichung von der Gestalt 



') Wir heben nachher nicht jedesmal hervor, dass es sich hier nur um Nähe- 

 runcjsverhältnisse bei Verminderuno; der Theilstrecken handelt. 



