SM WIMAN, ÜBER KETTENBRUCHENTWICKELUNGEN. 



(6) 1 ■ ^^" • /(qn) = Cf{qn + l) ; (1 + qn)f{qn) = <1 + ^n + l)/(?n + l) , 

 J- T qn + 1 



WO C eine Coustante bedeutet. Setzen wir nun 



(7) (1 + x)f{a:) = cpix) , 

 so folgt aus (6) 



(8) (p{qn) = c(p{qn+}) • 



Da man </„ und g-n+i einander beliebig nahe wählen kann, so ist 

 für die Constante c nur der Werth 



c= 1 



zulässig. Aus der Funktionalgleichung 



(9) <?(?..) = <? (^j , 



WO k eine beliebige ganze positive Zahl bedeutet, erschliesst man 

 unmittelbar, dass die Funktion cp für jede rationale Zahl zwischen 

 und 1 denselben Werth besitzen niuss. Nun darf q) keine 

 Sprünge machen, denn dies würde unseren Voraussetzungen zu- 

 widerlaufen. Hieraus folgt, dass man 



cp = const. 



setzen kann. Aus (7) folgt sodann, dass man 



1 



(10) fix) = 



1 + x 



schreiben kann. 



Hiernach erschliesst man unmittelbar, dass die Wahrschein- 

 lichkeit w(q^^, q^^ , dass (/„ zwischen zwei Werthen q^ und q^ , 



wo q /> q 1 fallen soll, gleich ist dem Verhältnisse zwischen 

 den Integralen 



'l + qn-'^-l + ql^ 



dqn , 1 + q,. 



'■ — log 



und 



