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WIMAN, ÜBER KETTENBRUCHENTWICKELÜNGEN. 



k 



Si 



(Sk) 



I'/c 



(^i) 



1 



1 



1 



0,415 



0,414 



2 



0,585 



0,586 



0,170 



0,172 



3 



0,415 



0,414 



0,093 



0,094 



4 



0,322 



0,320 



0,059 



0,059 



5 



0,263 



0,261 



0,0406 



0,041 



10 



0,1375 



0,136 



0,0120 



0,012 



100 



0,0143 



0,0141 



0,00014 



0,0001 



Wie man sieht, sind die Differenzen zwischen S^ und (ä^) bez. 

 Di und {J)k) nicht sehr bedeutend. Ist k sehr gross, so sind 



1 . 1 



für Sic bez. D/, die Näherungswerthe 



bez. 



k -log 2 ^^"' k{k + 2)iog2 

 anwendbar. 



Eine vollkommene Bestätigung der Formeln (12) und (13) 

 durch Versuchsentwicklungen von irrationalen Grössen in Ketten- 

 brüche darf nicht erwartet werden, es sei denn, dass die Ent- 

 wicklungen sehr weit fortgesetzt werden. Denn für kleine Werthe 

 von n stimmen Sn, h und D^^ k keineswegs mit *S'/„- und D^ 

 überein. ^) 



4. Wir haben aber noch zu prüfen, ob denn die zu An- 

 fang der vorigen Nummer gemachte Voraussetzung auch erlaubt 

 ist. Zu dem Ende stellen wir die folgenden Überlegungen an. 



Es sei 71 eine beliebige ganze Zahl^O. Wir denken uns 

 die Strecke q^ zwischen und 1 in kleine Theilstrecken Jqn, i> 

 Jqn^2, •••» ^([n, N Zerlegt. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 

 Entwicklung einer Zahl fi q^ in die Theilstrecke Jqn,i fällt, sei 

 '¥(^J qn , i) ] dabei ist vorausgesetzt, dass ein Grenzpunkt zweier 

 Theilstrecken nur zu der einen von ihnen gerechnet wird. Die 

 fragliche Wahrscheinlichkeit rührt nun zwar blos von einzelnen 

 Punkten der in Rede stehenden Theilstrecke her; doch führen 



wir den Quotienten — ^^ — ^"' = f-,(Jqn j) ein. Wir denken uns 



') Beoden hat (1. c, p. 251, 252) Berechmmgeu über die exacten Werthe von 

 äo, &, Do, I-, Si, a, Dl, k, angestellt. 



