838 WIMAN, ÜBER KETTENBRUCHENTWICKELUNGEN. 

 (Ib) (i + qn + o)f^{J qn + o) — -f- ^-• 



^ q-n+q 

 Die letztere Gleichung lehrt uns, dass, wie man auch die Theil- 

 nenner a„+i , . . . , cin+o wählen mag, für die erhaltene Strecke 

 J'qn+Q die Grösse (1 + qn+o)f\{^'qn+^ geg^n einen Mittelwerth 

 der Grössen (1 + qn, i)f\{^qi', i) strebt. Doch brauchen für zwei 

 verschiedene Strecken J'q^+o die Grössen (1 + qn+o)fi{^'q>i+o} 



nicht genau gleich zu sein, denn die Verhältnisse ,'"^^ " än- 



^ q-n+Q 



dem sich mit den Zahlen a^+i , • • • , «h+^ • Dasselbe Verfahren, 

 nach welchem wir hier von den Strecken Jqn zu den Strecken 

 J'q-n+o hinaufgestiegen sind, können wir aber beliebig oft wieder- 

 holen. Es wird sich dann um mittlere Werthe von immer we- 

 niger von einander verschiedenen Grössen handeln; diese mittlere 

 Werthe müssen ihrerseits noch weniger von einander verschieden 

 sein und kommen einander am Ende beliebig nahe, wie sich ohne 

 Schwierigkeit erweisen lässt. Dies involvirt aber eben jene 

 Voraussetzung, von welcher wir in der vorigen Nummer aus- 

 gingen. 



5. Bei seinen störungstheoretischen Untersuchungen wurde 

 Gyldén auf die P^rage nach der Wahrscheinlichkeit von Conver- 

 genz oder Divergenz gewisser Reihen geführt. Diejenige unter 

 diesen Reihen, welche die grössten Möglichkeiten für Divergenz 

 darbot, konnte, nach Weglassen von trigonometrischen Factoren 

 in der folgenden Gestalt geschrieben werden 



(19) ^%-,yy"^ 



n = \ 



wobei a„+x und r„ in der früher beschriebenen Weise zur Ketten- 

 bruchentwicklung einer Zahl /.t < 1 gehören, und s eine positive 

 Grösse < 1 und sogar meist sehr kleine Grösse bedeutet. Gyl- 

 dén behauptet nun, dass für eine Reihe (19) die Wahrschein- 

 lichkeit von Divergenz äusserst gering sei. Dass in der That 

 diese Behauptung richtig ist, wollen wir jetzt nachweisen. 



Zuerst wollen wir für r„ eine untere Grenze herstellen. Nach 

 (2) ist 



