n — 2 03 n — 2 n — 4 



K — 2 



§40 WIMAN, ÜBER KETTENBRÜCHENTWICKELUNGEISr. 



CO n — 2 h — 4 



(22) 2 2~^£''^ < ^ ■ 

 Es ist aber 



oo 



2a:,,2-^.^ ^ <22 



M, "1 



falls für n'^n^ jedesmal 



n — 2 M — 4 



(23) a:^^2^£^-^<l. 



Man wähle nun zweitens die Zahl ?ij auch so gross, dass eine 



Wahrscheinlichkeit < ö^ erhalten wird, damit für eine einzige 



Zahl n > rij die Ungleichung (23) nicht bestehe. 



Es kommt demnach alles darauf an, ob man denn eine 



solche Wahl der Zahl n^ wirklich immer treffen kann. Nun 



wissen wir aus (4), dass die Wahrscheinlichkeit, dass a„+i ^ k , 



zwar von dem zugehörigen qn abhängig ist, doch jedenfalls den 



2 

 Werth -r nicht erreicht. Für die Wahrscheinlichkeit, dass nicht 



sämmtliche Ungleichungen (23) erfüllt sind, ergiebt sich hiernach 

 die obere Grenze 



00 M + 2 n — e 



«1 

 Der zweiten Bedingung, welche durch die Wahl der Zahl n^ 

 befriedigt werden sollte, wird nun genügt, wenn n^ so gross ist, 

 dass 



00 w+2 ?i — 6 



(24) 2 ^ * ^' ' "^ ^1 • 



"I 



Zunächst wollen wir n^ so gross wählen, dass die in den 

 Ungleichungen (22) und (24) auftretenden Reihen vom Anfangs- 

 gliede an schneller als eine unendlich abnehmende geometrische 

 Progression mit dem Quotienten \ convergiren. Schreiben wir 

 « = 2--^, so ist hierfür wegen (24) die Bedingung erforderlich: 



1l\ — 5 , o Ml —6 , rj 



A.2-^"--'^^>A.2^--"^+l; 



