896 PETRINI, CONVERGBNCB ET DIVERGENCE DES SERIES. 



Considérons le eas oü il est possible de trouver pour chaque 

 valeur de n un norabre entier q^ > pn tel que ou l:o d 

 devient <0; dans ce cas la serie donnée est nécessairement 

 divergente; ou que 2:o d^ reste > pour toute valeur de g„ 

 plus grande que ^„. Si d^ reste finie lorsqu'on prend qn assez 

 grande pour que lim Iq^n reste finie, on voit que la serie consi- 



dérée est encore divergente. ^) Par suite, il ne nous reste qu'a 

 considérer le cas oü l'on pourra prendre q^ teile que d^^ devienne 

 aussi grande qu'on le voudra. Dans ce cas il pourra arriver 

 qu'on pourra toujours choisir q^ de maniére que d se trouve 

 entrc deux limites finies et > 0; alors le probieme est ramené 

 a celui de P. du Bois-Reymond. Si u„ est toujours > Un+i 

 ce cas est réalisée si ce n'est que a^ est teile que 



lim «' = , lim/^^^ — . «' := co . En effet, on pourra écrire 



iq + 2''- 



n = co 



cp{n) _ (p{n) _ (f{n) 



nlnUn . . . {IpuY + « nlnl^n . . . {Iqrif + "' nlnl^n . . . (Iq + i?i)^ + «" 

 lim g) finie. Dans ce cas on pourra choisir q'>p de maniere 

 que lim d —0 mais lim a" == oo. Parce que (/,^n)"' = (Zy+i?i)i + «' 



la dérniére condition devient \imY^—-d = co . Dans ce cas la 



serie est toujours convergente si lim qn est finie. 



Resultat: La serie de Bertrand la plus generale peut étre 



ramenée å la serie de Paul du Bois-Reymond sauf 



dans le cas oü «„ est teile qu'il y a une nombre q 



I n 

 pour lequel lim -^— ■ a'^^— ©o , lim or„=0 , lim ^ ==: co . 



lieinarque. Si dans ce cas on aura (/„ + l<pn dans la serie 

 convergente de Paul du Bois-Reymond, la serie est 

 convergente, mais si qn^Pn dans la serie divergente 

 de Paul du Bois-Reymond, la serie est divergente. 



') Voir aussi H. Petkini: 1. c. 



