ÖFVERSIGT AF K. VETENÖK.-AKAD. FÖllIIANDLINGAR 1 000, NIO 7. 897 



§ 2. Criteres de convergence et de divergence de Bertrand 

 généralisées. 



En faisant la comparaison d'une serie avec les series de 

 Bertrand généralisées on pourra les employer coninie des cri- 

 teres de convergence et de divergence. On pourra donc se de- 

 mander s'il y a deux series de series å comparaison 



B^B^... By in inf. 



C^Cn • • • Cy in inf. 



de maniére que toute serie By soit convergente et toute serie 

 Cy divergente et qu'elles fournit un ensemble complet de criteres 

 de convergence et de divergence. Nous verrons que non en 

 vertu d'un théorénie de M. Hadamard. ') Ce théoréme étant 

 tres important nous voudrons le démontrer ici. 

 Theoreme: Soit 



une groupe de series å termes positifs de plus en plus lentement 

 divergentes [couvergentes], nous pourrons toujours former une 

 serie S qui est plus lentement divergente [convergente] que toutes 

 les series *S(p). 



En eflfet, on pourra construire la serie S de maniére qu'elle 

 consiste en portions de toutes les series S'^p^ p. e. de la maniére 

 suivante, en supposant que les termes correspondantes des series 

 SS ... vont en diminuant [augmentant]. 



Soit So une serie divergente [convergente] quelconque å 

 termes positifs. La serie S(i)['S(2)] étant divergente [conver- 

 gente], on peut toujours trouver un nombre tini n^ tel que 

 [aS(2) moins] la soinme des w, premiers termes de cette serie 

 soit > [<] le premier terme de »S„. Puis on pourra trouver 

 un nombre n^ > n^ tel que la somme des n^ — n, termes de 



') J. Hadamard: »Sur les caractéres de couvergence des series å termes posi- 

 tives et sur les fonctions indéfiniment croissantes.» Acta Math. Bd. 18, 

 Stockholm 1894, p. 319—336. 



