898 PETRINI, CONVERGENCE ET DIVERGENCE DES SERIES. 



*S^^^ å partir du n^ + l:iiie terme soit > [resp. tel que S^^^ 

 inoins les n^ premiers terraes soit <] le seeond terme de S^^ et 

 ainsi de suite. Nous construisons maintenant la serie <S de 

 maniere que les n^ premiers terraes de S soieut identiques aux 

 »j premiers termes de aS(i\ les n^ — Wj termes suivants soient 

 identiques aux ^2 — n^ termes de la serie -S^^) q^\ départent du 

 Wj + l:me terme etc. 



Si aS^'"* est la somme des [resp. si »S^,'^'* est egale å S^"^ moins 

 les] A' premiers termes de aS^''^ [et que S.^ a un sens analogue], on 



s. s^'-"'' 



voit que lim-^ = 0[-oo], si Hm -^7^ - [= co], quel 



X X 



que soit le norabre v. 



§ 3. TIléorhnes gériércmcc su7' la aonvergence et la divergence 



des series ä termes positifs. 



Soient 



00 

 T= ^ «y , y<y > 0, une serie convergente 

 1 



00 



lin = ^ ^v 

 n 

 00 



Un = j Uydv 



n 



n^— 'S^''' ^v^^ ■, Hin '^',''5' = c« pour q constante, 



c. a. d. 2'y,/ une serie divergente 



^+w — 1 



? \ 



Si l'on n'a pas constamment ?<„<m,(_i, v„<y„_i, on 

 aura des termes maxima et des termes minima alternatifs. 

 Nommons les maxima ?«,,„ et les minima ?<„„ , . Posons 



00 

 f^n = 2 (Wn^j, Un'.^^ _ ^ •.• 6n ^Rn . 



