900 PETRINI, CONVERGBNCE ET DIVERGENCE DES SERIES. 

 Soit Wy une fouction continue de v et soit 



n 

 Z« = 2 '^v , Wr ^ , 



n 



Wn = pWrdv ; 

 1 



si iVy n'a pas de maxima et minima absolus entre deux valeurs 

 entiers successifs de v, ei si lim X„ est finie, donc lim iy„ est 



;j = CO ?i = CO 



finie, et si lim Wn est infinie, donc lim X„ est infinie, mais le 



71= CO n=co 



contraire n'a pas nécessairement Heu. 



Remarque. On pourra donc employer l'integrale d'EuLBR 

 pour constater la divergence d'une serie divergente quelconque 

 å termes positifs. 



Pour des series a termes positifs décroissants nous pour- 

 rons énoncer le tliéoréme suivant — en employant les notations 

 précédentes — 



Theoreme: Si 2un est convergente, 0^m„^?(„_i, la serie 



IUnq){Rn) 



u 

 est oonver'gente ou divergente, selon que V integrale Ccp{w)dw, U finie 







et >0, est finie o a non; et 



si ^Vn est divergente, 0<'ü„<t"„_i, la serie 



^VnU'(Sn) 



est convergente ou divergente, selon que V integrale lyj^yyiy, V finie 



V 



6'^ > 0, est finie on non, (p{cc) et ip{y) étant des fonctions continues 

 positives quelconques, pourvu que les termes des series trans- 

 formées aillent constamraent en décroissant. 



La demonstration se fait immédiatement en considéraut le 

 fait qu'on pourra écrire 



dx = dU.,i = — u^dn , dy = ofF,; = v^d-n . 



